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Teorema de Isserlis

En teoría de la probabilidad , el teorema de Isserlis o teorema de probabilidad de Wick es una fórmula que permite calcular momentos de orden superior de la distribución normal ...

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En teoría de la probabilidad , el teorema de Isserlis o teorema de probabilidad de Wick es una fórmula que permite calcular momentos de orden superior de la distribución normal multivariada en función de su matriz de covarianza . Recibe su nombre de Leon Isserlis .

Este teorema es también particularmente importante en física de partículas , donde se conoce como el teorema de Wick en honor al trabajo de Wick (1950) . [ 1 ] Otras aplicaciones incluyen el análisis de rendimientos de cartera, [ 2 ] la teoría cuántica de campos [ 3 ] y la generación de ruido coloreado. [ 4 ]

Declaración

Si(incógnita1,…,incógnitanorte){\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{n})}es un vector aleatorio normal multivariado de media cero , entoncesmi⁡[incógnita1incógnita2⋯incógnitanorte]=∑pag∈PAGnorte2∏{i,j}∈pagmi⁡[incógnitaiincógnitaj]=∑pag∈PAGnorte2∏{i,j}∈pagCov⁡(incógnitai,incógnitaj),{\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}X_{2}\cdots X_{n}\,]=\sum _{p\in P_{n}^{2}}\prod _{\{i,j\}\in p}\operatorname {E} [\,X_{i}X_{j}\,]=\sum _{p\in P_{n}^{2}}\prod _{\{i,j\}\in p}\operatorname {Cov} (\,X_{i},X_{j}\,),}donde la suma se realiza sobre todos los pares de{1,…,norte}{\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}, es decir, todas las formas distintas de partición{1,…,norte}{\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}en parejas{i,j}{\displaystyle \{i,j\}}y el producto está sobre los pares contenidos enpag{\displaystyle p}. [ 5 ] [ 6 ]

En términos más generales, si(Z1,…,Znorte){\displaystyle (Z_{1},\dots,Z_{n})}es un vector aleatorio normal multivariado complejo de media cero , entonces la fórmula sigue siendo válida.

La expresión del lado derecho también se conoce como el hafniano de la matriz de covarianza de(incógnita1,…,incógnitanorte){\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{n})}.

Caso extraño

Sinorte=2metro+1{\displaystyle n=2m+1}es extraño, no existe ningún emparejamiento de{1,…,2metro+1}{\displaystyle \{1,\ldots ,2m+1\}}Bajo esta hipótesis, el teorema de Isserlis implica quemi⁡[incógnita1incógnita2⋯incógnita2metro+1]=0.{\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}X_{2}\cdots X_{2m+1}\,]=0.} Esto también se desprende del hecho de que−incógnita=(−incógnita1,…,−incógnitanorte){\displaystyle -X=(-X_{1},\dots ,-X_{n})}tiene la misma distribución queincógnita{\displaystyle X}, lo que implica quemi⁡[incógnita1⋯incógnita2metro+1]=mi⁡[(−incógnita1)⋯(−incógnita2metro+1)]=−mi⁡[incógnita1⋯incógnita2metro+1]=0{\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}\cdots X_{2m+1}\,]=\operatorname {E} [\,(-X_{1})\cdots (-X_{2m+1})\,]=-\operatorname {E} [\,X_{1}\cdots X_{2m+1}\,]=0}.

Incluso caso

En su artículo original, [ 7 ] Leon Isserlis demuestra este teorema por inducción matemática , generalizando la fórmula para el 4el{\displaystyle 4^{\text{o}}}momentos de orden, [ 8 ] que toma la apariencia

mi⁡[incógnita1incógnita2incógnita3incógnita4]=mi⁡[incógnita1incógnita2]mi⁡[incógnita3incógnita4]+mi⁡[incógnita1incógnita3]mi⁡[incógnita2incógnita4]+mi⁡[incógnita1incógnita4]mi⁡[incógnita2incógnita3].{\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}\,]=\operatorname {E} [X_{1}X_{2}]\,\operatorname {E} [X_{3}X_{4}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{3}]\,\operatorname {E} [X_{2}X_{4}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{4}]\,\operatorname {E} [X_{2}X_{3}].}

Sinorte=2metro{\displaystyle n=2m}es incluso, existen(2metro)¡/(2metrometro¡)=(2metro−1)¡¡{\displaystyle (2m)!/(2^{m}m!)=(2m-1)!!}(ver factorial doble ) particiones de pares de{1,…,2metro}{\displaystyle \{1,\ldots ,2m\}}: esto produce(2metro)¡/(2metrometro¡)=(2metro−1)¡¡{\displaystyle (2m)!/(2^{m}m!)=(2m-1)!!}términos en la suma. Por ejemplo, para4el{\displaystyle 4^{\text{o}}}momentos de orden (es decir4{\displaystyle 4}variables aleatorias) hay tres términos. Para6el{\displaystyle 6^{\text{o}}}-ordenar momentos hay3×5=15{\displaystyle 3\times 5=15}términos y para8el{\displaystyle 8^{\text{ocho}}}-ordenar momentos hay3×5×7=105{\displaystyle 3\times 5\times 7=105}términos.

Ejemplo

Podemos evaluar la función característica de las gaussianas mediante el teorema de Isserlis:mi[mi−iincógnita]=∑k(−i)kk¡mi[incógnitak]=∑k(−i)2k(2k)¡mi[incógnita2k]=∑k(−i)2k(2k)¡(2k)¡k¡2kmi[incógnita2]k=mi−12mi[incógnita2]{\displaystyle E[e^{-iX}]=\sum _{k}{\frac {(-i)^{k}}{k!}}E[X^{k}]=\sum _{k}{\frac {(-i)^{2k}}{(2k)!}}E[X^{2k}]=\sum _{k}{\frac {(-i)^{2k}}{(2k)!}}{\frac {(2k)!}{k!2^{k}}}E[X^{2}]^{k}=e^{-{\frac {1}{2}}E[X^{2}]}}

Prueba

Dado que ambos lados de la fórmula son multilineales enincógnita1,...,incógnitanorte{\displaystyle X_{1},...,X_{n}}Si podemos demostrar el caso real, obtenemos el caso complejo gratis.

DejarΣij=Cov⁡(incógnitai,incógnitaj){\displaystyle \Sigma _{ij}=\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})}Sea la matriz de covarianza, de modo que tengamos el vector aleatorio normal multivariado de media cero.(incógnita1,...,incógnitanorte)∼norte(0,Σ){\displaystyle (X_{1},...,X_{n})\sim N(0,\Sigma )}Dado que ambos lados de la fórmula son continuos con respecto aΣ{\displaystyle \Sigma }, basta con probar el caso cuandoΣ{\displaystyle \Sigma }es invertible. En particular, esto significa que si alguno deincógnita1,…,incógnitanorte{\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}son idénticos, como enmi[incógnita13incógnita2]{\displaystyle E[X_{1}^{3}X_{2}]}, entonces se reduce al caso en que todas las variables son linealmente independientes, como enmi[incógnita1incógnita2incógnita3incógnita4]{\displaystyle E[X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}]}.

Utilizando la factorización cuadrática−incógnitaTΣ−1incógnita/2+vTincógnita−vTΣv/2=−(incógnita−Σv)TΣ−1(incógnita−Σv)/2{\displaystyle -x^{T}\Sigma ^{-1}x/2+v^{T}xv^{T}\Sigma v/2=-(x-\Sigma v)^{T}\Sigma ^{-1}(x-\Sigma v)/2}, obtenemos

1(2π)nortedetΣ∫mi−incógnitaTΣ−1incógnita/2+vTincógnitadincógnita=mivTΣv/2{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{n}\det \Sigma }}}\int e^{-x^{T}\Sigma ^{-1}x/2+v^{T}x}dx=e^{v^{T}\Sigma v/2}}

Derivar bajo el signo integral con∂v1,...,vnorte|v1,...,vnorte=0{\displaystyle \partial _ {v_ {1},...,v_ {n}}|_ {v_ {1},...,v_ {n}=0}}para obtenermi[incógnita1⋯incógnitanorte]=∂v1,...,vnorte|v1,...,vnorte=0mivTΣv/2{\displaystyle E[X_{1}\cdots X_{n}]=\partial _{v_{1},...,v_{n}}{\Big |}_{v_{1},...,v_{n}=0}e^{v^{T}\Sigma v/2}}Es decir, solo necesitamos hallar el coeficiente del términov1⋯vnorte{\displaystyle v_{1}\cdots v_{n}}en la expansión de Taylor demivTΣv/2=∑metro12metrometro¡(vTΣv)metro{\displaystyle e^{v^{T}\Sigma v/2}=\sum _{m}{\frac {1}{2^{m}m!}}(v^{T}\Sigma v)^{m}}Dado que la cantidad es par env{\displaystyle v}, sinorte{\displaystyle n}es extraño, esto es cero. Entonces dejanorte=2metro{\displaystyle n=2m}, entonces solo necesitamos encontrar el coeficiente del términov1v2⋯v2metro−1v2metro{\displaystyle v_{1}v_{2}\cdots v_{2m-1}v_{2m}}en el polinomio12metrometro¡(∑ijvivjΣij)metro{\displaystyle {\frac {1}{2^{m}m!}}\left(\sum _{ij}v_{i}v_{j}\Sigma _{ij}\right)^{m}}.

Combinatoriamente, cada emparejamientoπ{\displaystyle \pi }de1,2,…,2metro−1,2metro{\displaystyle 1,2,\dots ,2m-1,2m}corresponde a una forma de obtenerv1v2⋯v2metro−1v2metro{\displaystyle v_{1}v_{2}\cdots v_{2m-1}v_{2m}}, eligiendo unovivjΣij{\displaystyle v_{i}v_{j}\Sigma _{ij}}de cada paréntesis para cada(i,j)∈π{\displaystyle (i,j)\in \pi }. Hay2metrometro¡{\displaystyle 2^{m}m!}formas de elegir de esta manera, anulando la12metrometro¡{\displaystyle {\frac {1}{2^{m}m!}}}término.◻{\displaystyle \square }

Generalizaciones

Integración gaussiana por partes

Una formulación equivalente de la fórmula de probabilidad de Wick es la integración gaussiana por partes . Si(incógnita1,…incógnitanorte){\displaystyle (X_{1},\dots X_{n})}es un vector aleatorio normal multivariado de media cero , entonces

mi⁡(incógnita1F(incógnita1,…,incógnitanorte))=∑i=1norteCov⁡(incógnita1,incógnitai)mi⁡(∂incógnitaiF(incógnita1,…,incógnitanorte)).{\displaystyle \operatorname {E} (X_{1}f(X_{1},\ldots ,X_{n}))=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Cov} (X_{1},X_{i})\operatorname {E} (\partial _{X_{i}}f(X_{1},\ldots ,X_{n})).}Esta es una generalización del lema de Stein .

La fórmula de probabilidad de Wick se puede recuperar por inducción, considerando la funciónF:Rnorte→R{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }definido porF(incógnita1,…,incógnitanorte)=incógnita2…incógnitanorte{\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{2}\ldots x_{n}}Entre otras cosas, esta formulación es importante en la teoría de campos conformes de Liouville para obtener identidades de Ward conformes , ecuaciones BPZ [ 9 ] y para demostrar la fórmula de Fyodorov-Bouchaud [ 10 ] .

Variables aleatorias no gaussianas

Para variables aleatorias no gaussianas, la fórmula de cumulantes de momentos [ 11 ] reemplaza la fórmula de probabilidad de Wick. Si(incógnita1,…incógnitanorte){\displaystyle (X_{1},\dots X_{n})}es un vector de variables aleatorias , entoncesmi⁡(incógnita1…incógnitanorte)=∑pag∈PAGnorte∏b∈pagκ((incógnitai)i∈b),{\displaystyle \operatorname {E} (X_{1}\ldots X_{n})=\sum _{p\in P_{n}}\prod _{b\in p}\kappa {\big (}(X_{i})_{i\in b}{\big )},}donde la suma se realiza sobre todas las particiones de{1,…,norte}{\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}, el producto está sobre los bloques depag{\displaystyle p}yκ((incógnitai)i∈b){\displaystyle \kappa {\big (}(X_{i})_{i\in b}{\big )}}es el cumulante conjunto de(incógnitai)i∈b{\displaystyle (X_{i})_{i\in b}}.

Distribución uniforme en la esfera unitaria

Considerarincógnita=(incógnita1,…,incógnitad){\displaystyle X=(X_{1},\dots ,X_{d})}distribuidos uniformemente en la esfera unitariaSd−1{\displaystyle S^{d-1}}, de modo que‖incógnita‖=1{\displaystyle \|X\|=1}casi con seguridad . En este contexto, se cumple lo siguiente.

Sinorte{\displaystyle n}es extraño, mi⁡[incógnitai1incógnitai2⋯incógnitainorte]=0.{\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}X_{i_{1}}\,X_{i_{2}}\,\cdots \,X_{i_{n}}{\bigr ]}\;=\;0.\!}

Sinorte=2k{\displaystyle n=2k}es par, mi⁡[incógnitai1⋯incógnitai2k]=1d(d+2)(d+4)⋯(d+2k−2)∑pag∈PAG2k2∏{r,s}∈pagδir,is,{\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}X_{i_{1}}\,\cdots \,X_{i_{2k}}{\bigr ]}\;=\;{\frac {1}{d\,{\bigl (}d+2{\bigr )}{\bigl (}d+4{\bigr )}\cdots {\bigl (}d+2k-2{\bigr )}}}\sum _{p\in P_{2k}^{2}}\prod _{\{r,s\}\in p}\delta _{\,i_{r},i_{s}},} dóndePAG2k2{\displaystyle P_{2k}^{2}}es el conjunto de todos los emparejamientos de{1,…,2k}{\displaystyle \{1,\ldots ,2k\}},δi,j{\displaystyle \delta _{i,j}}es el delta de Kronecker .

Dado que hay|PAG2k2|=(2k−1)¡¡{\displaystyle |P_{2k}^{2}|=(2k-1)!!}términos delta, obtenemos en la diagonal: mi⁡[incógnita12k]=(2k−1)¡¡d(d+2)(d+4)⋯(d+2k−2).{\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}^{2k}\,]\;=\;{\frac {(2k-1)!!}{d\,{\bigl (}d+2{\bigr )}{\bigl (}d+4{\bigr )}\cdots {\bigl (}d+2k-2{\bigr )}}}.} Aquí,(2k−1)¡¡{\displaystyle (2k-1)!!}denota el doble factorial .

Estos resultados se discuten en el contexto de vectores aleatorios y representaciones irreducibles en el trabajo de Kushkuley (2021). [ 12 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Wick, GC (1950). "La evaluación de la matriz de colisión". Physical Review . 80 (2): 268– 272. Bibcode : 1950PhRv...80..268W . doi : 10.1103/PhysRev.80.268 .
  2. ↑ Repetowicz, Przemysław; Richmond, Peter (2005). "Inferencia estadística de parámetros de distribución multivariados para series temporales distribuidas no gaussianas" (PDF) . Acta Física Polonica B. 36 (9): 2785–2796 . Código bibliográfico : 2005AcPPB..36.2785R .
  3. ↑ Pérez-Martín, S.; Robledo, LM (2007). "Teorema generalizado de Wick para superposiciones de múltiples cuasipartículas como límite del teorema de Gaudin". Physical Review C . 76 (6) 064314. arXiv : 0707.3365 . Bibcode : 2007PhRvC..76f4314P . doi : 10.1103/PhysRevC.76.064314 . S2CID 119627477 . 
  4. ↑ Bartosch, L. (2001). "Generación de ruido coloreado". International Journal of Modern Physics C . 12 (6): 851– 855. Bibcode : 2001IJMPC..12..851B . doi : 10.1142/S0129183101002012 . S2CID 54500670 . 
  5. ↑ Janson, Svante (junio de 1997). Espacios de Hilbert gaussianos . Cambridge Core. doi : 10.1017/CBO9780511526169 . ISBN 978-0-521-56128-0. Consultado el 30 de noviembre de 2019 .
  6. ↑ Michalowicz, JV; Nichols, JM; Bucholtz, F.; Olson, CC (2009). "Un teorema de Isserlis para variables gaussianas mixtas: aplicación a la densidad autobiespectral". Journal of Statistical Physics . 136 (1): 89– 102. Bibcode : 2009JSP...136...89M . doi : 10.1007/s10955-009-9768-3 . S2CID 119702133 . 
  7. ↑ Isserlis, L. (1918). "Sobre una fórmula para el coeficiente de momento producto de cualquier orden de una distribución de frecuencia normal en cualquier número de variables" . Biometrika . 12 ( 1–2 ): 134–139 . doi : 10.1093/biomet/12.1-2.134 . JSTOR 2331932 . 
  8. ↑ Isserlis, L. (1916). "Sobre ciertos errores probables y coeficientes de correlación de distribuciones de frecuencia múltiples con regresión asimétrica" . Biometrika . 11 (3): 185– 190. doi : 10.1093/biomet/11.3.185 . JSTOR 2331846 . 
  9. ↑ Kupiainen, Antti; Rhodes, Rémi; Vargas, Vincent (2019-11-01). "Estructura conforme local de la gravedad cuántica de Liouville". Communications in Mathematical Physics . 371 (3): 1005– 1069. arXiv : 1512.01802 . Bibcode : 2019CMaPh.371.1005K . doi : 10.1007/s00220-018-3260-3 . ISSN 1432-0916 . S2CID 55282482 .  
  10. ↑ Remy, Guillaume (2020). "La fórmula de Fyodorov-Bouchaud y la teoría de campos conformes de Liouville". Duke Mathematical Journal . 169. arXiv : 1710.06897 . doi : 10.1215/00127094-2019-0045 . S2CID 54777103 . 
  11. ↑ Leonov, VP; Shiryaev, AN (enero de 1959). "Sobre un método de cálculo de semiinvariantes" . Teoría de la probabilidad y sus aplicaciones . 4 (3): 319– 329. doi : 10.1137/1104031 .
  12. ↑ Kushkuley, Alexander (2021). "Una observación sobre vectores aleatorios y representaciones irreducibles". arXiv : 2110.15504 [ math.PR ].

Lecturas adicionales

  • Koopmans, Lambert G. (1974). El análisis espectral de series temporales . San Diego, CA: Academic Press . Bibcode : 1974sats.book.....K .
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