isometría de Itô

En matemáticas , la isometría de Itô , que recibe su nombre de Kiyoshi Itô , es un hecho crucial sobre las integrales estocásticas de Itô . Una de sus principales aplicaciones es permitir el cálculo de varianzas para variables aleatorias dadas como integrales de Itô.

Dejar${\displaystyle W:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} }$denota el proceso de Wiener canónico de valores reales definido hasta el tiempo${\displaystyle T>0}$y dejar${\displaystyle X:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} }$ser un proceso estocástico que se adapta a la filtración natural${\displaystyle {\mathcal {F}}_{*}^{W}}$del proceso Wiener. Entonces

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left(\int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} W_{t}\right)^{2}\right]=\operatorname {E} \left[\int _{0}^{T}X_{t}^{2}\,\mathrm {d} t\right],}$

dónde${\displaystyle \operatorname {E} }$denota la esperanza con respecto a la medida clásica de Wiener .

En otras palabras, la integral de Itô, como una función del espacio${\displaystyle L_{\mathrm {ad} }^{2}([0,T]\times \Omega )}$de procesos adaptados integrables al cuadrado al espacio${\displaystyle L^{2}(\Omega)}$de variables aleatorias de cuadrado integrable, es una isometría de espacios vectoriales normados con respecto a las normas inducidas por los productos internos.

${\displaystyle {\begin{aligned}(X,Y)_{L_{\mathrm {ad} }^{2}([0,T]\times \Omega )}&:=\operatorname {E} \left(\int _{0}^{T}X_{t}\,Y_{t}\,\mathrm {d} t\right)\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle (A,B)_{L^{2}(\Omega)}:=\operatorname {E} (AB).}$

Como consecuencia, la integral de Itô también respeta estos productos internos, es decir, podemos escribir

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left(\int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} W_{t}\right)\left(\int _{0}^{T}Y_{t}\,\mathrm {d} W_{t}\right)\right]=\operatorname {E} \left[\int _{0}^{T}X_{t}Y_{t}\,\mathrm {d} t\right]}$

para${\displaystyle X,Y\in L_{\mathrm {ad} }^{2}([0,T]\times \Omega )}$.

La isometría de Itô se puede ilustrar mediante simulación numérica utilizando métodos de Monte Carlo . Dichas simulaciones ayudan a verificar la relación teórica entre el valor esperado de las integrales estocásticas al cuadrado y el valor esperado de los procesos integrados al cuadrado. Un experimento típico de Monte Carlo consiste en generar numerosas trayectorias de muestra del movimiento browniano y calcular ambos lados de la ecuación de isometría para diferentes elecciones del proceso integrando.${\displaystyle X_{t}}$La simulación aproxima la integral estocástica en tiempo continuo mediante una suma en tiempo discreto:

${\displaystyle \int _{0}^{T}X_{t}\,dW_{t}\approx \sum _{i=0}^{N-1}X_{t_{i}}\Delta W_{i}}$

dónde${\displaystyle \Delta W_{i}=W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}}}$representa los incrementos brownianos en pequeños intervalos de tiempo. La isometría se puede demostrar utilizando varios procesos.${\displaystyle X_{t}}$en el intervalo${\displaystyle [0,1]}$:

1. Proceso constante:${\displaystyle X_{t}=1}$
   • Valor analítico:${\displaystyle \mathbb {E} [\int _{0}^{1}1^{2}\,dt]=1}$,
2. Proceso lineal determinista:${\displaystyle X_{t}=t}$
   • Valor analítico:${\displaystyle \mathbb {E} [\int _{0}^{1}t^{2}\,dt]={\frac {1}{3}}}$,
3. Proceso trigonométrico determinista:${\displaystyle X_{t}=\sin(\pi t)}$
   • Valor analítico:${\displaystyle \mathbb {E} [\int _{0}^{1}\sin ^{2}(\pi t)\,dt]={\frac {1}{2}}}$,
4. Proceso estocástico dependiente de la trayectoria:${\displaystyle X_{t}=W_{t}}$
   • Valor analítico:${\displaystyle \mathbb {E} [\int _{0}^{1}W_{t}^{2}\,dt]={\frac {1}{2}}}$,
5. Poisson compensado (${\displaystyle M_{t}=N_{t}-\lambda t}$):${\displaystyle X_{t}=1}$
   • Valor analítico:${\displaystyle \lambda \int _{0}^{T}1^{2}dt=\lambda T}$.

# ============================================================ # Prueba de convergencia para cinco procesos # – 4 integrales de Itô basadas en el browniano # – 1 integral de martingala de Poisson compensada # # Salida: # • tabla de errores con formato adecuado # • gráfico de convergencia log-log # – cada curva browniana en su propio color # – curva de Poisson en naranja y con líneas discontinuas # ============================================================import numpy as np import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt from IPython.display import displaynp.random.seed ( 42 ) # demostración reproducible​​# ---------------------- Configuración global --------------------- T = 1.0 # Horizonte lam = 3.0 # Intensidad de Poisson λ M_paths = 20_000 # Rutas de Monte Carlo N_list = [ 50 , 100 , 200 , 500 , 1000 , 2000 , 5000 ] # Refinamientos de malla# Dataframe para almacenar errores absolutos index = pd . Index ( N_list , name = "N" ) err_table = pd . DataFrame ( index = index , columns = [ "1" , "t" , "sin(πt)" , "W_t" , "Poisson‑1" ])# -------------------- bucle principal de simulación ------------------ para N en N_list : dt = T / N sqrt_dt = np . sqrt ( dt ) t_left = np . linspace ( 0.0 , T , N + 1 )[: - 1 ] # puntos finales izquierdos (longitud N)# --- Incrementos y trayectorias brownianas ------------------------ dW = np . random . normal ( 0.0 , sqrt_dt , size = ( M_paths , N )) W = np . zeros (( M_paths , N + 1 )) W [:, 1 :] = np . cumsum ( dW , axis = 1 )# --- Incrementos de Poisson compensados ​​-------------------- dN = np . random . poisson ( lam * dt , size = ( M_paths , N )) dM = dN - lam * dt# función auxiliar para X_t determinista lhs_det = lambda X_grid , inc : np . mean (( inc * X_grid ) . sum ( axis = 1 ) ** 2 )# 1) X_t ≡ 1 con integrador browniano X1 = np . ones_like ( t_left ) err_table . loc [ N , "1" ] = abs ( lhs_det ( X1 , dW ) - T )# 2) X_t = t Xt = t_left err_table . loc [ N , "t" ] = abs ( lhs_det ( Xt , dW ) - T ** 3 / 3 )# 3) X_t = pecado(π t) Xs = np . sin ( np . pi * t_left ) err_table . loc [ N , "sin(πt)" ] = abs ( lhs_det ( Xs , dW ) - 0,5 * T )# 4) X_t = W_t (dependiente de la trayectoria) lhs_W = np . mean (( W [:, : - 1 ] * dW ) . sum ( axis = 1 ) ** 2 ) err_table . loc [ N , "W_t" ] = abs ( lhs_W - T ** 2 / 2 )# 5) Poisson compensado con X_t ≡ 1 err_table . loc [ N , "Poisson‑1" ] = abs ( lhs_det ( X1 , dM ) - lam * T )# ---------------------- mostrar tabla -------------------------- mostrar ( err_table . estilo . formato ( " {:.3e} " ) . establecer_caption ( "Error absoluto de isometría vs N (5 procesos)" ) )# ---------------------- trazado ---------------------------- colour_map = { "1" : "tab:blue" , ​​"t" : "tab:green" , "sin(πt)" : "tab:red" , "W_t" : "tab:purple" , "Poisson‑1" : "tab:orange" , } markers = { "1" : "o" , "t" : "s" , "sin(πt)" : "D" , "W_t" : "^" , "Poisson‑1" : "v" } styles = { "1" : "-" , "t" : "-" , "sin(πt)" : "-" , "W_t" : "-" , "Poisson‑1" : "--" }plt.figure ( figsize = ( 7 , 5 ) ) para col en err_table.columns : plt.plot ( N_list , err_table [ col ] , marker = markers [ col ] , linestyle = styles [ col ] , color = colour_map [ col ] , label = col , )​plt.xscale ( "log" ) plt.yscale ( " log" ) plt.xlabel ( " Número de pasos de tiempo $N$ (escala logarítmica)" ) plt.ylabel ( " Error absoluto (escala logarítmica)" ) plt.title ( " Convergencia del error de isometría frente a $ N $ \n " "(4 procesos brownianos, 1 proceso de Poisson compensado)" ) plt.grid ( True , which = " both " , ls = " : " ) plt.legend ( ) plt.tight_layout ( ) plt.show ( )

Una simulación de Monte Carlo con 20.000 trayectorias de muestra y 1.000 pasos de tiempo produce resultados que coinciden estrechamente con los valores teóricos predichos por la isometría de Itô. Como se muestra en la tabla anterior, los errores absolutos entre el lado izquierdo simulado${\displaystyle \mathbb {E} [(\int X_{t}\,dW_{t})^{2}]}$y el lado derecho analítico${\displaystyle \mathbb {E} [\int X_{t}^{2}\,dt]}$suelen ser del orden de${\displaystyle 10^{-3}}$o más pequeñas, lo que confirma la validez de la relación de isometría.

Estas simulaciones sirven como evidencia empírica de la isometría de Itô y permiten comprender cómo se mantiene esta relación en diferentes tipos de procesos, tanto deterministas como estocásticos. La estrecha concordancia entre los valores teóricos y simulados demuestra la robustez de la isometría como propiedad fundamental del cálculo estocástico .

La isometría de Itô se extiende más allá del proceso de Wiener estándar a una clase más amplia de procesos estocásticos , en particular martingalas , proporcionando un marco poderoso para calcular varianzas de integrales estocásticas . Un proceso estocástico${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq 0}}$es una martingala con respecto a la filtración${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\geq 0}}$si:

• ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{t}|{\mathcal {F}}_{s}]=X_{s}}$a pesar de${\displaystyle t\geq s}$

Las martingalas se pueden clasificar además como:

• ${\displaystyle L^{1}}$martingalas si${\displaystyle \mathbb {E} [|X_{t}|]<\infty }$a pesar de${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle L^{2}}$martingalas si${\displaystyle \mathbb {E} [|X_{t}|^{2}]<\infty }$a pesar de${\displaystyle t}$(y por implicación, también${\displaystyle L^{1}}$)

Una martingala local es un proceso${\displaystyle \{X_{t}\}}$para la cual existe una secuencia de tiempos de parada${\displaystyle \{\tau _{n}\}}$con${\displaystyle \tau _{n}\rightarrow \infty }$de tal manera que${\displaystyle \{X_{t\wedge \tau _{n}}\}}$es una martingala para cada${\displaystyle n}$.

• Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones . Springer, Berlín. ISBN 3-540-04758-1.