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Articulo de referencia

Grupo de monodromía iterada

En la teoría geométrica de grupos y sistemas dinámicos, el grupo de monodromía iterada de un mapa de recubrimiento describe la acción monodromía del grupo fundamental sobre toda...

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En la teoría geométrica de grupos y sistemas dinámicos, el grupo de monodromía iterada de un mapa de recubrimiento describe la acción monodromía del grupo fundamental sobre todas las iteraciones del recubrimiento. Por lo tanto, un único mapa de recubrimiento entre espacios se utiliza para crear una torre de recubrimientos, superponiendo repetidamente el recubrimiento sobre sí mismo. En términos de la teoría de Galois de recubrimiento de espacios , se espera que esta construcción en espacios corresponda a una construcción en grupos. El grupo de monodromía iterada proporciona esta construcción y se aplica para codificar la combinatoria y la dinámica simbólica del recubrimiento, y para proporcionar ejemplos de grupos autosimilares .

Definición

El grupo de monodromía iterada de f es el siguiente grupo cociente :

IMETROGRAMOF:=π1(incógnita,t)⋂norte∈norteKmirϝnorte{\displaystyle \mathrm {IMG} f:={\frac {\pi _{1}(X,t)}{\bigcap _{n\in \mathbb {N} }\mathrm {Ker} \,\digamma ^{n}}}}

dónde  :

  • F:incógnita1→incógnita{\displaystyle f:X_{1}\rightarrow X}es una cobertura de un espacio topológico X conectado por caminos y localmente conectado por caminos mediante su subconjuntoincógnita1{\displaystyle X_{1}},
  • π1(incógnita,t){\displaystyle \pi _{1}(X,t)}es el grupo fundamental de X y
  • ϝ:π1(incógnita,t)→SymetroF−1(t){\displaystyle \digama :\pi _{1}(X,t)\rightarrow \mathrm {Sym} \,f^{-1}(t)} es la acción de monodromía para f .
  • ϝnorte:π1(incógnita,t)→SymetroF−norte(t){\displaystyle \digamma ^{n}:\pi _{1}(X,t)\rightarrow \mathrm {Sym} \,f^{-n}(t)}es la acción monodromía de lanorteth{\displaystyle n^{\mathrm {th} }}iteración de f ,∀norte∈norte0{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} _{0}}.

Acción

El grupo de monodromía iterada actúa mediante automorfismo en el árbol enraizado de preimágenes.

TF:=⨆norte≥0F−norte(t),{\displaystyle T_{f}:=\bigsqcup _{n\geq 0}f^{-n}(t),}

donde un vérticez∈F−norte(t){\displaystyle z\in f^{-n}(t)}está conectado por una arista conF(z)∈F−(norte−1)(t){\displaystyle f(z)\in f^{-(n-1)}(t)}.

Ejemplos

Grupos de monodromía iterada de funciones racionales

Dejar  :

SiPAGF{\displaystyle P_{f}}Si f es finito (o tiene un conjunto finito de puntos de acumulación ), entonces el grupo de monodromía iterado de f es el grupo de monodromía iterado del recubrimiento.F:do^∖F−1(PAGF)→do^∖PAGF{\displaystyle f:{\hat {C}}\setminus f^{-1}(P_{f})\rightarrow {\hat {C}}\setminus P_{f}}, dóndedo^{\displaystyle {\hat {C}}}es la esfera de Riemann .

Los grupos de monodromía iterada de funciones racionales suelen tener propiedades exóticas desde el punto de vista de la teoría de grupos clásica. La mayoría de ellos son infinitamente presentados, muchos tienen crecimiento intermedio .

IMG de polinomios

El grupo Basilica es el grupo de monodromía iterada del polinomioz2−1{\displaystyle z^{2}-1}

Véase también

Referencias

  • Volodymyr Nekrashevych, Grupos autosimilares , Encuestas y monografías matemáticas, vol. 117, Sociedad Matemática Americana, Providence, RI, 2005; ISBN 0-412-34550-1.
  • Kevin M. Pilgrim, Combinaciones de sistemas dinámicos complejos , Springer-Verlag, Berlín, 2003; ISBN 3-540-20173-4.
  • arXiv.org - Grupo de Monodromía Iterada - preimpresiones sobre el Grupo de Monodromía Iterada.
  • Página de Laurent Bartholdi archivada el 11 de marzo de 2007 en Wayback Machine : películas que ilustran los giros de Dehn sobre un set de Julia .
  • mathworld.wolfram.com - La página del Grupo de Monodromía .