Soporte de Iverson

Derivamos mecánicamente una regla de manipulación de sumas bien conocida utilizando corchetes de Iverson: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k\in A}f(k)+\sum _{k\in B}f(k)&=\sum _{k}f(k)\,[k\in A]+\sum _{k}f(k)\,[k\in B]\\&=\sum _{k}f(k)\,([k\in A]+[k\in B])\\&=\sum _{k}f(k)\,([k\in A\cup B]+[k\in A\cap B])\\&=\sum _{k\in A\cup B}f(k)\ +\sum _{k\in A\cap B}f(k).\end{aligned}}}$$

La regla bien conocida${\textstyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{j}f(j,k)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=k}^{n}f(j,k)}$Asimismo, se deduce fácilmente: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}\,\sum _{k=1}^{j}f(j,k)&=\sum _{j,k}f(j,k)\,[1\leq j\leq n]\,[1\leq k\leq j]\\&=\sum _{j,k}f(j,k)\,[1\leq k\leq j\leq n]\\&=\sum _{j,k}f(j,k)\,[1\leq k\leq n]\,[k\leq j\leq n]\\&=\sum _{k=1}^{n}\,\sum _{j=k}^{n}f(j,k).\end{aligned}}}$$

Por ejemplo, la función totiente de Euler que cuenta el número de enteros positivos hasta n que son coprimos con n se puede expresar mediante $${\displaystyle \varphi (n)=\sum _{i=1}^{n}[\gcd(i,n)=1],\qquad {\text{para }}n\in \mathbb {N} ^{+}.}$$

Otro uso del corchete de Iverson es simplificar ecuaciones con casos especiales. Por ejemplo, la fórmula $${\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n\varphi (n)}$$

es válido para n > 1 pero se desvía en 1/2 para n = 1. Para obtener una identidad válida para todos los enteros positivos n ( es decir, todos los valores para los que${\displaystyle \varphi (n)}$se define), se puede agregar un término de corrección que involucre el corchete de Iverson: $${\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n{\Big (}\varphi (n)+[n=1]{\Big )}}$$

Muchas funciones comunes, especialmente aquellas con una definición natural por partes , pueden expresarse en términos del corchete de Iverson. La notación delta de Kronecker es un caso específico de la notación de Iverson cuando la condición es de igualdad. Es decir, $${\displaystyle \delta _{ij}=[i=j].}$$

La función indicadora de un conjunto${\displaystyle A}$, a menudo denotado${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)}$,${\displaystyle \mathbf {I} _{A}(x)}$o${\displaystyle \chi _{A}(x)}$, es un corchete de Iverson con pertenencia a un conjunto como condición: $${\displaystyle \mathbf {I} _{A}(x)=[x\in A].}$$

La función escalón de Heaviside , la función signo , ^{[ 1 ]} y la función de valor absoluto también se pueden expresar fácilmente en esta notación: $${\displaystyle {\begin{aligned}H(x)&=[x\geq 0],\\\operatorname {sgn}(x)&=[x>0]-[x<0],\end{aligned}}}$$

y $${\displaystyle {\begin{aligned}|x|&=x[x>0]-x[x<0]\\&=x([x>0]-[x<0])\\&=x\cdot \operatorname {sgn}(x).\end{aligned}}}$$

Las funciones de comparación max y min (que devuelven el mayor o el menor de dos argumentos) se pueden escribir como $${\displaystyle \max(x,y)=x[x>y]+y[x\leq y]}$$y $${\displaystyle \min(x,y)=x[x\leq y]+y[x>y].}$$

Las funciones del suelo y del techo se pueden expresar como $${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\sum _{n}n\cdot [n\leq x<n+1]}$$ y $${\displaystyle \lceil x\rceil =\sum _{n}n\cdot [n-1<x\leq n],}$$ donde el índice${\displaystyle n}$Se entiende que la suma abarca todos los números enteros.

La función rampa se puede expresar $${\displaystyle R(x)=x\cdot [x\geq 0].}$$

La tricotomía de los números reales es equivalente a la siguiente identidad: $${\displaystyle [a<b]+[a=b]+[a>b]=1.}$$

La función de Möbius tiene la propiedad (y puede definirse por recurrencia como ^{[ 4 ]} ) $${\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)=[n=1],}$$dónde${\displaystyle d|n}$significa que la suma se toma sobre todos los enteros positivos.${\displaystyle d}$que son divisores de${\displaystyle n}$.