Función de Jónsson

En la teoría matemática de conjuntos , una función ω-Jónsson para un conjunto x de ordinales es una función${\displaystyle f:[x]^{\omega }\to x}$con la propiedad de que, para cualquier subconjunto y de x con la misma cardinalidad que x , la restricción de${\displaystyle f}$a${\displaystyle [y]^{\omega }}$es sobreyectiva en${\displaystyle x}$. Aquí${\displaystyle [x]^{\omega }}$denota el conjunto de secuencias estrictamente crecientes de miembros de${\displaystyle x}$, o equivalentemente la familia de subconjuntos de${\displaystyle x}$con tipo de pedido${\displaystyle \omega }$, utilizando una notación estándar para la familia de subconjuntos con un tipo de orden dado. Las funciones de Jónsson reciben su nombre de Bjarni Jónsson .

Erdős y Hajnal ( 1966 ) demostraron que para cada ordinal λ existe una función ω-Jónsson para λ. 

La demostración del teorema de inconsistencia de Kunen utiliza una función de Jónsson para cardinales λ tales que 2 ^λ = λ ^{ℵ ₀} , y Kunen observó que para este caso particular existe una demostración más sencilla de la existencia de funciones de Jónsson. Galvin y Prikry ( 1976 ) proporcionaron una demostración sencilla para el caso general. 

La existencia de funciones de Jónsson demuestra que para cualquier cardinal existe un álgebra con una operación infinitaria que no tiene subálgebras propias de la misma cardinalidad. En particular, si se permiten operaciones infinitarias, entonces existe un análogo de las álgebras de Jónsson en cualquier cardinalidad, por lo que no existen análogos infinitorios de los cardinales de Jónsson .

• Erdős, P .; Hajnal, András (1966), "Sobre un problema de B. Jónsson", Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences, Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques , 14 : 19–23 , ISSN 0001-4117 , MR 0209161  
• Galvin, Fred; Prikry, Karel (1976), "Álgebras de Jonsson infinitas y relaciones de partición", Algebra Universalis , 6 (3): 367–376 , doi : 10.1007/BF02485843 , ISSN 0002-5240 , MR 0434822  
• Jónsson, Bjarni (1972), Temas de álgebra universal , Lecture Notes in Mathematics, vol.  250, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0058648 , ISBN 978-3-540-05722-2, MR 0345895 
• Kanamori, Akihiro (2003), El infinito superior  : grandes cardenales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2ª  ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , p.  319, ISBN 978-3-540-00384-7