línea j

En el estudio de la aritmética de curvas elípticas , la línea j sobre un anillo R es el esquema de módulos gruesos asociado al problema de módulos que envía un anillo${\displaystyle R}$al conjunto de clases de isomorfismo de curvas elípticas sobre${\displaystyle R}$. Dado que las curvas elípticas sobre los números complejos son isomorfas (sobre una clausura algebraica) si y solo si sus${\displaystyle j}$-los invariantes coinciden, el espacio afín${\displaystyle \mathbb {A} _{j}^{1}}$La parametrización de los j-invariantes de curvas elípticas produce un espacio de módulos grueso . Sin embargo, este no resulta ser un espacio de módulos fino debido a la presencia de curvas elípticas con automorfismos, lo que requiere la construcción de la pila de módulos de curvas elípticas .

Esto está relacionado con el subgrupo de congruencia.${\displaystyle \Gamma (1)}$de la siguiente manera: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle M([\Gamma (1)])=\mathrm {Spec} (R[j])}$

Aquí el invariante j se normaliza de tal manera que${\displaystyle j=0}$tiene multiplicación compleja por${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _ {3}]}$, y${\displaystyle j=1728}$tiene multiplicación compleja por${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$.

La línea j puede verse como una coordinación de la curva modular clásica de nivel 1,${\displaystyle X_{0}(1)}$, que es isomorfo a la línea proyectiva compleja${\displaystyle \mathbb {P} _{/\mathbb {C} }^{1}}$. ^{[ 2 ]}