JLO cociclo

En geometría no conmutativa , el cociclo de Jaffe-Lesniewski-Osterwalder ( JLO ) (llamado así en honor a Arthur Jaffe , Andrzej Lesniewski y Konrad Osterwalder ) es un cociclo en un grupo de cohomología cíclica completo . Es una versión no conmutativa del clásico carácter de Chern de la geometría diferencial convencional . En geometría no conmutativa, el concepto de variedad se reemplaza por un álgebra no conmutativa.${\displaystyle {\mathcal {A}}}$de "funciones" en el supuesto espacio no conmutativo. La cohomología cíclica del álgebra${\displaystyle {\mathcal {A}}}$contiene la información sobre la topología de ese espacio no conmutativo, de forma muy similar a como la cohomología de De Rham contiene la información sobre la topología de una variedad convencional. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El cociclo JLO está asociado con una estructura métrica de geometría diferencial no conmutativa conocida como${\displaystyle \theta }$-triple espectral sumable (también conocido como un${\displaystyle \theta }$-módulo de Fredholm sumable). Fue introducido por primera vez en un artículo de 1988 por Jaffe, Lesniewski y Osterwalder. ^{[ 3 ]}

La entrada para la construcción JLO es un${\displaystyle \theta }$-triple espectral sumable. Estas tripletas constan de los siguientes datos:

(a) Un espacio de Hilbert${\displaystyle {\mathcal {H}}}$de tal manera que${\displaystyle {\mathcal {A}}}$actúa sobre ella como un álgebra de operadores acotados.

(b) A${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$-calificación${\displaystyle \gamma }$en${\displaystyle {\mathcal {H}}}$,${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{0}\oplus {\mathcal {H}}_{1}}$. Suponemos que el álgebra${\displaystyle {\mathcal {A}}}$está incluso bajo el${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$-calificación, es decir${\displaystyle a\gamma =\gamma a}$, para todos${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$.

(c) Un operador autoadjunto (no acotado)${\displaystyle D}$, llamado operador de Dirac tal que

(i)${\displaystyle D}$es extraño bajo${\displaystyle \gamma }$, es decir${\displaystyle D\gamma =-\gamma D}$.

(ii) Cada uno${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$mapea el dominio de${\displaystyle D}$,${\displaystyle \mathrm {Dom} \left(D\right)}$en sí mismo, y el operador${\displaystyle \left[D,a\right]:\mathrm {Dom} \left(D\right)\to {\mathcal {H}}}$está delimitado.

(iii)${\displaystyle \mathrm {tr} \left(e^{-tD^{2}}\right)<\infty }$, para todos${\displaystyle t>0}$.

Un ejemplo clásico de un${\displaystyle \theta }$La tripleta espectral sumable surge de la siguiente manera. Sea${\displaystyle M}$ser un colector de giro compacto ,${\displaystyle {\mathcal {A}}=C^{\infty }\left(M\right)}$, el álgebra de funciones suaves en${\displaystyle M}$,${\displaystyle {\mathcal {H}}}$el espacio de Hilbert de formas integrables cuadradas en${\displaystyle M}$, y${\displaystyle D}$el operador Dirac estándar.

Dado un${\displaystyle \theta }$-triple espectral sumable, el cociclo JLO${\displaystyle \Phi _{t}\left(D\right)}$Asociada a la tripleta hay una secuencia

${\displaystyle \Phi _{t}\left(D\right)=\left(\Phi _{t}^{0}\left(D\right),\Phi _{t}^{2}\left(D\right),\Phi _{t}^{4}\left(D\right),\ldots \right)}$

de funcionales en el álgebra${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, dónde

${\displaystyle \Phi _{t}^{0}\left(D\right)\left(a_{0}\right)=\mathrm {tr} \left(\gamma a_{0}e^{-tD^{2}}\right),}$

${\displaystyle \Phi _{t}^{n}\left(D\right)\left(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\right)=\int _{0\leq s_{1}\leq \ldots s_{n}\leq t}\mathrm {tr} \left(\gamma a_{0}e^{-s_{1}D^{2}}\left[D,a_{1}\right]e^{-\left(s_{2}-s_{1}\right)D^{2}}\ldots \left[D,a_{n}\right]e^{-\left(t-s_{n}\right)D^{2}}\right)ds_{1}\ldots ds_{n},}$

para${\displaystyle n=2,4,\dots }$. La clase de cohomología definida por${\displaystyle \Phi _{t}\left(D\right)}$es independiente del valor de${\displaystyle t}$

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