Matriz de chaqueta

En matemáticas , una matriz chaqueta es una matriz cuadrada simétrica.${\displaystyle A=(a_{ij})}$de orden n si sus entradas son distintas de cero y reales , complejas o de un cuerpo finito , y

${\displaystyle \ AB=BA=I_{n}}$

donde I _n es la matriz identidad y

${\displaystyle \ B={1 \over n}(a_{ij}^{-1})^{T}.}$

donde T denota la transpuesta de la matriz.

En otras palabras, la inversa de una matriz de chaqueta se determina por su inversa elemento a elemento o por bloques. La definición anterior también puede expresarse como:

${\displaystyle \forall u,v\in \{1,2,\dots ,n\}:~a_{iu},a_{iv}\neq 0,~~~~\sum _{i=1}^{n}a_{iu}^{-1}\,a_{iv}={\begin{cases}n,&u=v\\0,&u\neq v\end{cases}}}$

La matriz de chaqueta es una generalización de la matriz de Hadamard ; es una matriz inversa diagonal por bloques.

Como se muestra en la tabla, es decir, en la serie, por ejemplo con n = 2, hacia adelante:${\displaystyle 2^{2}=4}$, inverso  :${\displaystyle (2^{2})^{-1}={1 \over 4}}$, entonces,${\displaystyle 4*{1 \over 4}=1}$. Es decir, existe un inverso elemento a elemento.

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\1&-2&2&-1\\1&2&-2&-1\\1&-1&-1&1\\\end{array}}\right],}$:${\displaystyle B={1 \over 4}\left[{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\[6pt]1&-{1 \over 2}&{1 \over 2}&-1\\[6pt]1&{1 \over 2}&-{1 \over 2}&-1\\[6pt]1&-1&-1&1\\[6pt]\end{array}}\right].}$

o más general

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrrr}a&b&b&a\\b&-c&c&-b\\b&c&-c&-b\\a&-b&-b&a\end{array}}\right],}$:${\displaystyle B={1 \over 4}\left[{\begin{array}{rrrr}{1 \over a}&{1 \over b}&{1 \over b}&{1 \over a}\\[6pt]{1 \over b}&-{1 \over c}&{1 \over c}&-{1 \over b}\\[6pt]{1 \over b}&{1 \over c}&-{1 \over c}&-{1 \over b}\\[6pt]{1 \over a}&-{1 \over b}&-{1 \over b}&{1 \over a}\end{array}}\right],}$

Para matrices mxm,${\displaystyle \mathbf {A_{j}},}$

${\displaystyle \mathbf {A_{j}} =\mathrm {diag} (A_{1},A_{2},..A_{n})}$denota una matriz Jacket diagonal por bloques de mn x mn .

${\displaystyle J_{4}=\left[{\begin{array}{rrrr}I_{2}&0&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta &0\\0&\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&0&I_{2}\end{array}}\right],}$${\displaystyle \ J_{4}^{T}J_{4}=J_{4}J_{4}^{T}=I_{4}.}$

Fórmula de Euler :

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$,${\displaystyle e^{i\pi }=\cos {\pi }+i\sin {\pi }=-1}$ y ${\displaystyle e^{-i\pi }=\cos {\pi }-i\sin {\pi }=-1}$.

Por lo tanto,

${\displaystyle e^{i\pi }e^{-i\pi }=(-1)({\frac {1}{-1}})=1}$.

También,

${\displaystyle y=e^{x}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{x}}$,${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}{\frac {dx}{dy}}=e^{x}{\frac {1}{e^{x}}}=1}$.

Finalmente,

A · B = B · A = I

Considerar ${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{N}}$sean matrices de bloques de 2x2 de orden${\displaystyle N=2p}$

${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{N}=\left[{\begin{array}{rrrr}\mathbf {A} _{0}&\mathbf {A} _{1}\\\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{0}\\\end{array}}\right],}$.

Si${\displaystyle [\mathbf {A} _{0}]_{p}}$ y${\displaystyle [\mathbf {A} _{1}]_{p}}$ son matriz de chaqueta pxp, entonces${\displaystyle [A]_{N}}$es una matriz circulante por bloques si y solo si${\displaystyle \mathbf {A} _{0}\mathbf {A} _{1}^{rt}+\mathbf {A} _{1}^{rt}\mathbf {A} _{0}}$, donde rt denota la transpuesta recíproca.

Dejar${\displaystyle \mathbf {A} _{0}=\left[{\begin{array}{rrrr}-1&1\\1&1\\\end{array}}\right],}$y${\displaystyle \mathbf {A} _{1}=\left[{\begin{array}{rrrr}-1&-1\\-1&1\\\end{array}}\right],}$, entonces la matriz${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{N}}$es dado por

${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{4}=\left[{\begin{array}{rrrr}\mathbf {A} _{0}&\mathbf {A} _{1}\\\mathbf {A} _{0}&\mathbf {A} _{1}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrrr}-1&1&-1&-1\\1&1&-1&1\\-1&1&-1&-1\\1&1&-1&1\\\end{array}}\right],}$,

${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{4}}$⇒${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr}U&C&A&G\\\end{array}}\right]^{T}\otimes \left[{\begin{array}{rrrr}U&C&A&G\\\end{array}}\right]\otimes \left[{\begin{array}{rrrr}U&C&A&G\\\end{array}}\right]^{T},}$

donde U , C , A , G denotan la cantidad de nucleobases de ADN y la matriz.${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{4}}$es la matriz circulante de bloques Jacket que conduce al principio del antagonismo con la matriz del código genético de Nirenberg .

[1] Moon Ho Lee, "La transformada de Hadamard ponderada al centro", IEEE Transactions on Circuits Syst. Vol. 36, No. 9, págs. 1247–1249, septiembre de 1989.

[2] Kathy Horadam, Matrices de Hadamard y sus aplicaciones , Princeton University Press, Reino Unido, Capítulo 4.5.1: La construcción de la matriz de chaqueta, págs. 85–91, 2007.

[3] Moon Ho Lee, Jacket Matrices: Constructions and Its Applications for Fast Cooperative Wireless Signal Processing , LAP LAMBERT Publishing, Alemania, noviembre de 2012.

[4] Moon Ho Lee, et al., "Método y sistema de comunicación MIMO utilizando la matriz de chaqueta circulante de bloques", patente estadounidense n.° US 009356671B1, mayo de 2016.

[5] SK Lee y MH Lee, “Análisis del código genético ADN-ARN de la COVID-19 mediante la teoría de la información de la matriz estocástica doble”, IntechOpen, Capítulo de libro, 17 de abril de 2022. [Disponible en línea: https://www.intechopen.com/chapters/81329 ].

• Informe técnico: Función lineal fraccionaria, curvas elípticas y matrices de chaqueta parametrizadas
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• Matrices de chaqueta: construcciones y sus aplicaciones para el procesamiento rápido y cooperativo de señales inalámbricas.