Problema de la cota de Jacobi

El problema de la cota de Jacobi se refiere a la veracidad de la desigualdad de Jacobi, que es una desigualdad sobre la dimensión absoluta de una variedad algebraica diferencial en términos de sus ecuaciones definitorias. Este es uno de los problemas de Kolchin .

La desigualdad es el análogo algebraico diferencial del teorema de Bézout en espacios afines. Aunque fue formulada por primera vez por Jacobi , en 1936 Joseph Ritt reconoció que el problema carecía de rigor, ya que Jacobi ni siquiera tenía una noción rigurosa de dimensión absoluta (Jacobi y Ritt usaron el término "orden", para el cual Ritt dio la primera definición rigurosa utilizando la noción de grado de trascendencia ). Intuitivamente, la dimensión absoluta es el número de constantes de integración necesarias para especificar una solución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias . La demostración matemática de la desigualdad ha estado abierta desde 1936.

Dejar${\displaystyle (K,\partial )}$Sea un campo diferencial de característica cero y considere${\displaystyle \Gamma }$una variedad algebraica diferencial determinada por la anulación de polinomios diferenciales${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}\in K\lbrace x_{1},\ldots ,x_{n}\rbrace }$. Si${\displaystyle \Gamma _{1}}$es un componente irreductible de${\displaystyle \Gamma }$de dimensión absoluta finita entonces

${\displaystyle a(\Gamma _{1})\leq J(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}).}$

En la pantalla anterior${\displaystyle J(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})}$es el *número de Jacobi*. Se define como

${\displaystyle \max _{\sigma \in S_{n}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {ord} _{x_{i}}^{\partial }(u_{\sigma (i)})}$.

• Ritt, Joseph F. (1938). «Aspectos algebraicos de la teoría de las ecuaciones diferenciales» (PDF) . Discursos del cincuentenario de la Sociedad Matemática Americana . Vol.  2. AMS. págs. 35–55 . ISBN  0-8218-0119-8.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
• Lando, Barbara A. (1970). "La cota de Jacobi para el orden de sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden" . Transactions of the American Mathematical Society . 152 : 119–135 . doi : 10.1090/S0002-9947-1970-0279079-1 .
• Ollivier, François (2022). "La cota de Jacobi: resultados de Jacobi traducidos a los lenguajes matemáticos de Kőnig, Egerváry y Ritt". Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing . 34 (5): 793– 885. arXiv : 2109.03620 . doi : 10.1007/s00200-022-00547-6 . S2CID 237440393 .