Integral de Jacobi

En mecánica celeste , la integral de Jacobi (también conocida como integral de Jacobi o constante de Jacobi ) es la única cantidad conservada conocida para el problema restringido circular de tres cuerpos . ^{[ 1 ]} A diferencia del problema de dos cuerpos, la energía y el momento de cada uno de los cuerpos que componen el sistema no se conservan por separado, y no es posible una solución analítica general. Dado que la fuerza gravitatoria es conservativa, la energía total (hamiltoniano), el momento lineal y el momento angular de un sistema aislado de tres cuerpos (ya sea que el problema sea restringido o no) se conservan.

Recibió su nombre en honor al matemático alemán Carl Gustav Jacob Jacobi .

Uno de los sistemas de coordenadas adecuados utilizados es el llamado sistema sinódico o corrotante, situado en el baricentro , con la línea que conecta las dos masas μ ₁ , μ ₂ elegida como eje x y la unidad de longitud igual a su distancia. A medida que el sistema corrota con las dos masas, estas permanecen estacionarias y posicionadas en (− μ ₂ , 0) y (+ μ ₁ , 0). ^{[ a ]}

En el sistema de coordenadas ( x ,  y ), la constante de Jacobi se expresa de la siguiente manera:

${\displaystyle C_{J}=n^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)+2\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right)-\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)}$

dónde:

• n = ⁠2π​/Tes el movimiento medio ( período orbital T )
• μ ₁ = Gm ₁ , μ ₂ = Gm ₂ , para las dos masas m ₁ , m ₂ y la constante gravitacional  G
• r ₁ , r ₂ son las distancias de la partícula de prueba a las dos masas.

Nótese que la integral de Jacobi es el doble de la energía total por unidad de masa en el sistema de referencia giratorio: el primer término se relaciona con la energía potencial centrífuga , el segundo representa la energía potencial gravitatoria y el tercero es la energía cinética . En este sistema de referencia, las fuerzas que actúan sobre la partícula son las dos fuerzas gravitatorias, la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis. Dado que las tres primeras se pueden derivar de potenciales y la última es perpendicular a la trayectoria, todas son conservativas, por lo que la energía medida en este sistema de referencia (y, por lo tanto, la integral de Jacobi) es una constante de movimiento. Para una demostración computacional directa, véase más abajo.

En el sistema de coordenadas siderales inerciales ( ξ ,  η ,  ζ ), las masas orbitan alrededor del baricentro . En estas coordenadas, la constante de Jacobi se expresa mediante ^{[ 2 ].}

${\displaystyle C_{J}=2\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right)+2n\left(\xi {\dot {\eta }}-\eta {\dot {\xi }}\right)-\left({\dot {\xi }}^{2}+{\dot {\eta }}^{2}+{\dot {\zeta }}^{2}\right).}$

En el sistema corrotante, las aceleraciones pueden expresarse como derivadas de una única función escalar.

${\displaystyle U(x,y,z)={\frac {n^{2}}{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)+{\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}}$

Utilizando la representación lagrangiana de las ecuaciones de movimiento:

Multiplicando las ecuaciones ( 1 ), ( 2 ) y ( 3 ) por ẋ , ẏ y ż respectivamente y sumando las tres se obtiene

${\displaystyle {\dot {x}}{\ddot {x}}+{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}}={\frac {\delta U}{\delta x}}{\dot {x}}+{\frac {\delta U}{\delta y}}{\dot {y}}+{\frac {\delta U}{\delta z}}{\punto {z}}={\frac {dU}{dt}}}$

Rendimientos de integración

${\displaystyle {\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}=2U-C_{J}}$

donde C _J es la constante de integración.

El lado izquierdo representa el cuadrado de la velocidad v de la partícula de prueba en el sistema corrotante.

• Marco de referencia giratorio
• El criterio de Tisserand
• Superficie de velocidad cero

• Carl D. Murray y Stanley F. Dermot, Dinámica del sistema solar [Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press, 1999], páginas 68-71. ( ISBN) 0-521-57597-4)