Jacobi transforma

En matemáticas, la transformada de Jacobi es una transformada integral que recibe su nombre del matemático Carl Gustav Jacob Jacobi y que utiliza polinomios de Jacobi.${\displaystyle P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)}$como núcleos de la transformación. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

La transformada de Jacobi de una función${\displaystyle F(x)}$es ^{[ 5 ]}

${\displaystyle J\{F(x)\}=f^{\alpha ,\beta }(n)=\int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }\ (1+x)^{\beta }\ P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)\ F(x)\ dx}$

La transformada inversa de Jacobi viene dada por

${\displaystyle J^{-1}\{f^{\alpha ,\beta }(n)\}=F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\delta _{n}}}f^{\alpha ,\beta }(n)P_{n}^{\alpha ,\beta }(x),\quad {\text{donde}}\quad \delta _{n}={\frac {2^{\alpha +\beta +1}\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{n!(\alpha +\beta +2n+1)\Gamma (n+\alpha +\beta +1)}}}$