El espacio de James

En el área de las matemáticas conocida como análisis funcional , el espacio de James es un ejemplo importante en la teoría de los espacios de Banach y suele servir como un contraejemplo útil a afirmaciones generales sobre la estructura de los espacios de Banach generales. El espacio fue introducido por primera vez en 1950 en un breve artículo de Robert C. James . ^{[ 1 ]}

El espacio de James sirve como ejemplo de un espacio que es isométricamente isomorfo a su doble dual , sin ser reflexivo . Además, el espacio de James tiene una base , pero no tiene una base incondicional .

Dejar${\displaystyle {\mathcal {P}}}$denotamos la familia de todas las secuencias finitas crecientes de enteros de longitud impar. Para cualquier secuencia de números reales${\displaystyle x=(x_{n})}$y${\displaystyle p=(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{2n+1})\in {\mathcal {P}}}$definimos la cantidad

${\displaystyle \|x\|_{p}:=\left(x_{p_{2n+1}}^{2}+\sum _{m=1}^{n}(x_{p_{2m-1}}-x_{p_{2m}})^{2}\right)^{1/2}.}$

El espacio de James, denotado por J , se define como todos los elementos x de c ₀ que satisfacen ${\displaystyle \sup\{\|x\|_{p}:p\in {\mathcal {P}}\}<\infty }$, dotado de la norma${\displaystyle \|x\|:=\sup\{\|x\|_{p}:p\in {\mathcal {P}}\}\ (x\in \mathbf {J} )}$.

Fuente: ^{[ 2 ]}

• El espacio de James es un espacio Banach.
• La base canónica {e _n } es una base de Schauder (condicional) para J . Además, esta base es monótona y se contrae .
• J no tiene una base incondicional .
• El espacio de James no es reflexivo . Su imagen en su doble dual bajo la incrustación canónica tiene codimensión uno.
• Sin embargo, el espacio de James es isométricamente isomorfo a su doble dual.
• El espacio de James es algo reflexivo , lo que significa que todo subespacio cerrado de dimensión infinita contiene un subespacio reflexivo de dimensión infinita. En particular, todo subespacio cerrado de dimensión infinita contiene una copia isomorfa de ℓ ₂ .

• Espacio Tsirelson
• Espacio reflexivo