La ecuación de John

La ecuación de John es una ecuación diferencial parcial ultrahiperbólica que satisface la transformada de rayos X de una función. Recibe su nombre del matemático germano-estadounidense Fritz John .

Dada una función${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$con soporte compacto la transformada de rayos X es la integral sobre todas las líneas en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$Parametrizaremos las líneas mediante pares de puntos.${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle x\neq y}$en cada línea y definir${\displaystyle u}$como la transformación del rayo donde

${\displaystyle u(x,y)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x+t(yx))dt.}$

Tales funciones${\displaystyle u}$se caracterizan por las ecuaciones de John

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial y_{j}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y_{i}\partial x_{j}}}=0}$

lo cual fue demostrado por Fritz John para la tercera dimensión y por Kurusa para dimensiones superiores.

En la tomografía computarizada de rayos X tridimensional , la ecuación de John se puede resolver para completar los datos faltantes, por ejemplo, cuando los datos se obtienen de una fuente puntual que recorre una curva, típicamente una hélice.

De forma más general, una ecuación diferencial parcial ultrahiperbólica (término acuñado por Richard Courant ) es una ecuación diferencial parcial de segundo orden de la forma

${\displaystyle \sum \limits _{i,j=1}^{2n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum \limits _{i=1}^{2n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+cu=0}$

dónde${\displaystyle n\geq 2}$, de tal manera que la forma cuadrática

${\displaystyle \sum \limits _ {i,j=1}^{2n}a_ {ij}\xi _ {i}\xi _ {j}}$

puede reducirse mediante un cambio lineal de variables a la forma

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}\xi _{i}^{2}-\sum \limits _{i=n+1}^{2n}\xi _{i}^{2}.}$

No es posible especificar arbitrariamente el valor de la solución en una hipersuperficie no característica . Sin embargo, el artículo de John sí proporciona ejemplos de variedades en las que una especificación arbitraria de u puede extenderse a una solución.

• John, Fritz (1938), "La ecuación diferencial ultrahiperbólica con cuatro variables independientes" , Duke Mathematical Journal , 4 (2): 300–322 , doi : 10.1215/S0012-7094-38-00423-5 , ISSN 0012-7094 , MR 1546052 , Zbl 0019.02404   
• Á. Kurusa, Caracterización del rango de la transformada de Radon mediante un sistema de EDP, J. Math. Anal. Appl., 161(1991), 218-226. doi : 10.1016/0022-247X(91)90371-6
• SK Patch, Condiciones de consistencia en datos de TC 3D y la ecuación de onda, Phys. Med. Biol. 47 No 15 (7 de agosto de 2002) 2637-2650 doi : 10.1088/0031-9155/47/15/306