cálculo de Jones

En óptica , la luz polarizada se puede describir mediante el cálculo de Jones , ^{[ 1 ]} inventado por R. C. Jones en 1941. La luz polarizada se representa mediante un vector de Jones , y los elementos ópticos lineales se representan mediante matrices de Jones . Cuando la luz atraviesa un elemento óptico, la polarización resultante de la luz emergente se obtiene multiplicando la matriz de Jones del elemento óptico por el vector de Jones de la luz incidente. Cabe destacar que el cálculo de Jones solo es aplicable a la luz que ya está completamente polarizada. La luz que está polarizada aleatoriamente, parcialmente polarizada o es incoherente debe tratarse mediante el cálculo de Mueller .

El vector de Jones describe la polarización de la luz en el espacio libre u otro medio homogéneo , isótropo y no atenuante , donde la luz puede describirse adecuadamente como ondas transversales . Supongamos que una onda plana monocromática de luz viaja en la dirección positiva del eje z , con frecuencia angular ω y vector de onda k = (0,0, k ), donde el número de onda k = ω / c . Entonces, los campos eléctrico y magnético E y H son ortogonales a k en cada punto; ambos se encuentran en el plano "transversal" a la dirección del movimiento. Además, H se determina a partir de E mediante una rotación de 90 grados y un multiplicador fijo que depende de la impedancia de onda del medio. Por lo tanto, la polarización de la luz puede determinarse estudiando E. La amplitud compleja de E se escribe:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{x}(t)\\E_{y}(t)\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i(kz-\omega t+\phi _{x})}\\E_{0y}e^{i(kz-\omega t+\phi _{y})}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\\0\end{pmatrix}}e^{i(kz-\omega t)}.}$

Nótese que el campo E físico es la parte real de este vector; el multiplicador complejo proporciona la información de fase. Aquí${\displaystyle i}$es la unidad imaginaria con${\displaystyle i^{2}=-1}$.

El vector de Jones es

${\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}.}$

De este modo, el vector de Jones representa la amplitud y la fase del campo eléctrico en las direcciones x e y .

La suma de los cuadrados de los valores absolutos de las dos componentes de los vectores de Jones es proporcional a la intensidad de la luz. Para simplificar el cálculo, es común normalizarla a 1 al inicio del mismo. También es común restringir la primera componente de los vectores de Jones a un número real . Esto descarta la información de fase global necesaria para calcular la interferencia con otros haces.

Tenga en cuenta que todos los vectores y matrices de Jones en este artículo emplean la convención de que la fase de la onda de luz viene dada por${\displaystyle \phi =kz-\omega t}$, una convención utilizada por Eugene Hecht . ^{[ 2 ]} Según esta convención, el aumento en${\displaystyle \phi _{x}}$(o${\displaystyle \phi _{y}}$) indica retardo (retraso) en la fase, mientras que disminución indica avance en la fase. Por ejemplo, un componente de vectores de Jones de${\displaystyle i}$(${\displaystyle =e^{i\pi /2}}$) indica retardo por${\displaystyle \pi /2}$(o 90 grados) comparado con 1 (${\displaystyle =e^{0}}$). Collett ^{[ 3 ]} utiliza la definición opuesta para la fase (${\displaystyle \phi =\omega t-kz}$Además, Collet y Jones siguen convenciones diferentes para definir la quiralidad de la polarización circular. La convención de Jones se denomina «Desde el punto de vista del receptor», mientras que la de Collet se denomina «Desde el punto de vista de la fuente». El lector debe tener cuidado con la convención elegida al consultar referencias sobre el cálculo de Jones.

La siguiente tabla muestra 6 ejemplos comunes de vectores de Jones normalizados.

Un vector general que apunta a cualquier lugar de la superficie se escribe como un ket${\displaystyle |\psi \rangle }$. Al emplear la esfera de Poincaré (también conocida como esfera de Bloch ), los kets base (${\displaystyle |0\rangle }$y${\displaystyle |1\rangle }$) debe asignarse a pares opuestos ( antipodales ) de los kets enumerados anteriormente. Por ejemplo, se podría asignar${\displaystyle |0\rangle }$=${\displaystyle |H\rangle }$y${\displaystyle |1\rangle }$=${\displaystyle |V\rangle }$Estas asignaciones son arbitrarias. Los pares opuestos son

• ${\displaystyle |H\rangle }$y${\displaystyle |V\rangle }$
• ${\displaystyle |D\rangle }$y${\displaystyle |A\rangle }$
• ${\displaystyle |R\rangle }$y${\displaystyle |L\rangle }$

La polarización de cualquier punto que no sea igual a${\displaystyle |R\rangle }$o${\displaystyle |L\rangle }$y no en el círculo que pasa por${\displaystyle |H\rangle ,|D\rangle ,|V\rangle ,|A\rangle }$se conoce como polarización elíptica .

El cálculo de Jones es un cálculo matricial desarrollado en 1941 por Henry Hurwitz Jr. y R. Clark Jones y publicado en el Journal of the Optical Society of America . ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

Las matrices de Jones son operadores que actúan sobre los vectores de Jones definidos anteriormente. Estas matrices se implementan mediante diversos elementos ópticos, como lentes, divisores de haz, espejos, etc. Cada matriz representa la proyección sobre un subespacio complejo unidimensional de los vectores de Jones. La siguiente tabla muestra ejemplos de matrices de Jones para polarizadores:

Un retardador de fase es un elemento óptico que produce una diferencia de fase entre dos componentes de polarización ortogonales de un haz de luz polarizada monocromática. ^{[ 9 ]} Matemáticamente, utilizando kets para representar vectores de Jones, esto significa que la acción de un retardador de fase es transformar la luz con polarización.

${\displaystyle |P\rangle =c_{1}|1\rangle +c_{2}|2\rangle }$

a

${\displaystyle |P'\rangle =c_{1}{\rm {e}}^{i\eta /2}|1\rangle +c_{2}{\rm {e}}^{-i\eta /2}|2\rangle }$

dónde${\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle }$son componentes de polarización ortogonales (es decir,${\displaystyle \langle 1|2\rangle =0}$) que están determinadas por la naturaleza física del retardador de fase. En general, las componentes ortogonales podrían ser cualesquiera dos vectores base. Por ejemplo, la acción del retardador de fase circular es tal que

${\displaystyle |1\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}\qquad {\text{ and }}\qquad |2\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}}}$

Sin embargo, los retardadores de fase lineal , para los cuales${\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle }$Las polarizaciones lineales son las más comunes en debates y en la práctica. De hecho, a veces se utiliza el término "retardador de fase" para referirse específicamente a retardadores de fase lineales.

Los retardadores de fase lineales suelen estar hechos de cristales uniaxiales birrefringentes como la calcita , _el MgF₂ o el cuarzo . Las placas hechas de estos materiales para este fin se denominan láminas _de onda . Los cristales uniaxiales tienen un eje cristalino diferente de los otros dos (es decir, nᵢ _≠ nⱼ = nk ). Este eje único se llama eje extraordinario y también se conoce como eje óptico . Un eje óptico puede ser el eje rápido o el lento del cristal, dependiendo del cristal en cuestión. La luz viaja con una mayor velocidad de fase a lo largo del eje que tiene el índice de refracción más pequeño, _y este eje se llama eje rápido. De manera similar, un eje que tiene el índice de refracción más grande se llama eje lento, ya que la velocidad de fase de la luz es la más baja a lo largo de este eje. _Los cristales uniaxiales "negativos" (p. ej., _calcita CaCO₃ , zafiro Al₂O₃ ) tienen _nₑ < n₀ , _por lo _{que para estos cristales, el eje extraordinario (eje óptico) es el eje rápido, mientras que} para los cristales uniaxiales "positivos" (p. ej., _cuarzo SiO₂ , fluoruro de magnesio MgF₂ , rutilo TiO₂ ), nₑ _> n₀ y _{, por lo tanto ,} el eje extraordinario (eje óptico) es el eje lento. Existen otros retardadores de fase lineales disponibles comercialmente que se utilizan en aplicaciones más especializadas. Los rombos de Fresnel son una de estas alternativas.

Cualquier retardador de fase lineal con su eje rápido definido como el eje x o el eje y tiene términos fuera de la diagonal nulos y, por lo tanto, puede expresarse convenientemente como

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\rm {e}}^{i\phi _{x}}&0\\0&{\rm {e}}^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}}$

dónde${\displaystyle \phi _{x}}$y${\displaystyle \phi _{y}}$son los desfases de los campos eléctricos en${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$direcciones respectivamente. En la convención de fase${\displaystyle \phi =kz-\omega t}$, definimos la fase relativa entre las dos ondas como${\displaystyle \epsilon =\phi _{y}-\phi _{x}}$. Entonces un positivo${\displaystyle \epsilon }$(es decir${\displaystyle \phi _{y}}$>${\displaystyle \phi _{x}}$) significa que${\displaystyle E_{y}}$no alcanza el mismo valor que${\displaystyle E_{x}}$hasta un momento posterior, es decir${\displaystyle E_{x}}$dirige${\displaystyle E_{y}}$. De manera similar, si${\displaystyle \epsilon <0}$, entonces${\displaystyle E_{y}}$dirige${\displaystyle E_{x}}$.

Por ejemplo, si el eje rápido de una placa de cuarto de onda es horizontal, entonces la velocidad de fase a lo largo de la dirección horizontal está adelantada con respecto a la dirección vertical, es decir,${\displaystyle E_{x}}$dirige${\displaystyle E_{y}}$. De este modo,${\displaystyle \phi _{x}<\phi _{y}}$lo que para una placa de cuarto de onda produce${\displaystyle \phi _{y}=\phi _{x}+\pi /2}$.

En la convención opuesta${\displaystyle \phi =\omega t-kz}$, defina la fase relativa como${\displaystyle \epsilon =\phi _{x}-\phi _{y}}$. Entonces ${\displaystyle \epsilon >0}$significa que${\displaystyle E_{y}}$no alcanza el mismo valor que${\displaystyle E_{x}}$hasta un momento posterior, es decir${\displaystyle E_{x}}$dirige${\displaystyle E_{y}}$.

La matriz de Jones para un material birrefringente arbitrario es la forma más general de una transformación de polarización en el cálculo de Jones; puede representar cualquier transformación de polarización. Para ver esto, se puede demostrar

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\rm {e}}^{-{\frac {i\eta }{2}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\sin ^{2}\theta &\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right){\rm {e}}^{-i\phi }\cos \theta \sin \theta \\\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right){\rm {e}}^{i\phi }\cos \theta \sin \theta &\sin ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos(\eta /2)-i\sin(\eta /2)\cos(2\theta )&-\sin(\eta /2)\sin(\phi )\sin(2\theta )-i\sin(\eta /2)\cos(\phi )\sin(2\theta )\\\sin(\eta /2)\sin(\phi )\sin(2\theta )-i\sin(\eta /2)\cos(\phi )\sin(2\theta )&\cos(\eta /2)+i\sin(\eta /2)\cos(2\theta )\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

La matriz anterior es una parametrización general para los elementos de SU(2) , utilizando la convención

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,\ \ |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~}$

donde la línea superior denota conjugación compleja .

Finalmente, reconociendo que el conjunto de transformaciones unitarias en${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$puede expresarse como

${\displaystyle \left\{{\rm {e}}^{i\gamma }{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,\ \ |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1,\ \ \gamma \in [0,2\pi ]\right\}}$

Queda claro que la matriz de Jones para un material birrefringente arbitrario representa cualquier transformación unitaria, salvo un factor de fase.${\displaystyle {\rm {e}}^{i\gamma }}$Por lo tanto, para una elección adecuada de${\displaystyle \eta }$,${\displaystyle \theta }$, y${\displaystyle \phi }$Se puede encontrar una transformación entre cualesquiera dos vectores de Jones, salvo un factor de fase.${\displaystyle {\rm {e}}^{i\gamma }}$Sin embargo, en el cálculo de Jones, dichos factores de fase no cambian la polarización representada de un vector de Jones, por lo que se consideran arbitrarios o se imponen ad hoc para ajustarse a una convención establecida.

Las expresiones especiales para los retardadores de fase se pueden obtener tomando valores de parámetros adecuados en la expresión general para un material birrefringente. ^{[ 12 ]} En la expresión general:

• El retardo de fase relativo inducido entre el eje rápido y el eje lento viene dado por${\displaystyle \eta =\phi _{y}-\phi _{x}}$
• ${\displaystyle \theta }$es la orientación del eje rápido con respecto al eje x.
• ${\displaystyle \phi }$es la circularidad.

Tenga en cuenta que para los retardadores lineales,${\displaystyle \phi }$= 0 y para retardadores circulares,${\displaystyle \phi }$= ±${\displaystyle \pi }$/2,${\displaystyle \theta }$=${\displaystyle \pi }$/4. En general para retardadores elípticos,${\displaystyle \phi }$toma valores entre -${\displaystyle \pi }$/2 y${\displaystyle \pi }$/2.

Supongamos que un elemento óptico tiene su eje óptico perpendicular al vector de superficie del plano de incidencia y gira alrededor de este vector de superficie un ángulo θ/2 (es decir, el plano principal por el que pasa el eje óptico forma un ángulo θ/2 con respecto al plano de polarización del campo eléctrico de la onda TE incidente). Recordemos que una lámina de media onda rota la polarización el doble del ángulo entre la polarización incidente y el eje óptico (plano principal). Por lo tanto, la matriz de Jones para el estado de polarización rotado, M( θ ), es

${\displaystyle M(\theta )=R(-\theta )\,M\,R(\theta ),}$

dónde${\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}.}$

Esto concuerda con la expresión para una placa de media onda en la tabla anterior. Estas rotaciones son idénticas a la transformación del divisor unitario de haz en física óptica dada por

${\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}r&t'\\t&r'\end{pmatrix}}}$

donde los coeficientes primados y no primados representan haces incidentes desde lados opuestos del divisor de haz . Los componentes reflejados y transmitidos adquieren una fase θ _r y θ _t , respectivamente. Los requisitos para una representación válida del elemento son ^{[ 13 ].}

${\displaystyle \theta _{\text{t}}-\theta _{\text{r}}+\theta _{\text{t'}}-\theta _{\text{r'}}=\pm \pi }$

y ${\displaystyle r^{*}t'+t^{*}r'=0.}$

Ambas representaciones son matrices unitarias que cumplen estos requisitos y, como tales, ambas son válidas.

El cálculo de la matriz de Jones, J( α , β , γ ), para una rotación arbitraria implica una matriz de rotación tridimensional . En la siguiente notación , α , β y γ representan los ángulos de guiñada, cabeceo y balanceo (rotación alrededor de los ejes z, y y x, donde x es la dirección de propagación), respectivamente. La combinación completa de las matrices de rotación tridimensionales es la siguiente:

${\displaystyle R_{3D}(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \alpha \cos \beta &\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma -\sin \alpha \cos \gamma &\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\sin \alpha \sin \gamma \\\sin \alpha \cos \beta &\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma &\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\cos \alpha \sin \gamma \\-\sin \beta &\cos \beta \sin \gamma &\cos \beta \cos \gamma \\\end{bmatrix}}}$

Utilizando lo anterior, para cualquier matriz base de Jones J, puede encontrar el estado rotado J( α , β , γ ) usando:

${\displaystyle J(\alpha ,\beta ,\gamma )=R_{3D}(-\alpha ,-\beta ,-\gamma )\cdot J\cdot R_{3D}(\alpha ,\beta ,\gamma )}$^{[ 1 ]}

El caso más simple, donde la matriz de Jones corresponde a un polarizador horizontal lineal ideal, se reduce entonces a:

${\displaystyle J(\alpha ,\beta ,\gamma )={\begin{bmatrix}c_{\alpha }^{2}c_{\beta }^{2}&c_{\alpha }c_{\beta }[c_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }-s_{\alpha }c_{\gamma }]&c_{\alpha }c_{\beta }[c_{\alpha }s_{\beta }c_{\gamma }+s_{\alpha }s_{\gamma }]\\s_{\alpha }c_{\alpha }c_{\beta }^{2}&s_{\alpha }c_{\beta }[c_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }-s_{\alpha }c_{\gamma }]&s_{\alpha }c_{\beta }[c_{\alpha }s_{\beta }c_{\gamma }+s_{\alpha }s_{\gamma }]\\-c_{\alpha }s_{\beta }c_{\beta }&-s_{\beta }[c_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }-s_{\alpha }c_{\gamma }]&-s_{\beta }[c_{\alpha }s_{\beta }c_{\gamma }+s_{\alpha }s_{\gamma }]\\\end{bmatrix}}}$

donde c _i y s _i representan el coseno o el seno de un ángulo dado "i", respectivamente.

Consulte a Russell A. Chipman y Garam Yun para obtener más información sobre trabajos realizados basados ​​en esto. ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

• Polarización
• Parámetros de dispersión
• Parámetros de Stokes
• cálculo de Mueller
• Polarización de fotones

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