El lema de Jordan

En el análisis complejo , el lema de Jordan es un resultado que se utiliza con frecuencia junto con el teorema del residuo para evaluar integrales de contorno e integrales impropias . El lema recibe su nombre del matemático francés Camille Jordan .

Consideremos una función continua de valor complejo f , definida en un contorno semicircular

${\displaystyle C_{R}=\{Re^{i\theta}\mid \theta \in [0,\pi ]\}}$

de radio positivo R que se encuentra en el semiplano superior , centrado en el origen. Si la función f es de la forma

${\displaystyle f(z)=e^{iaz}g(z),\quad z\in C,}$

con un parámetro positivo a , entonces el lema de Jordan establece el siguiente límite superior para la integral de contorno:

${\displaystyle \left|\int _{C_{R}}f(z)\,dz\right|\leq {\frac {\pi }{a}}M_{R}\quad {\text{donde}}\quad M_{R}:=\max _{\theta \in [0,\pi ]}\left|g\left(Re^{i\theta }\right)\right|.}$

con igualdad cuando g se anula en todas partes, en cuyo caso ambos lados son idénticamente cero. Una afirmación análoga para un contorno semicircular en el semiplano inferior se cumple cuando a < 0 .

• Si f es continua en el contorno semicircular C _R para todos los R grandes y

Luego, por el lema de Jordan$${\displaystyle \lim_{R\to \infty}\int_{C_{R}}f(z)\,dz=0.}$$

• Para el caso a = 0 , véase el lema de estimación .
• En comparación con el lema de estimación, el límite superior del lema de Jordan no depende explícitamente de la longitud del contorno C _R .

El lema de Jordan proporciona una manera sencilla de calcular la integral a lo largo del eje real de funciones f ( z ) = e ^{i az} g ( z ) holomorfas en el semiplano superior y continuas en el semiplano superior cerrado, excepto posiblemente en un número finito de puntos no reales z ₁ , z ₂ , …, z _n . Consideremos el contorno cerrado C , que es la concatenación de las trayectorias C ₁ y C ₂ que se muestran en la figura. Por definición,

${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\int _{C_{1}}f(z)\,dz+\int _{C_{2}}f(z)\,dz\ ,.}$

Como en C ₂ la variable z es real, la segunda integral es real:

${\displaystyle \int _{C_{2}}f(z)\,dz=\int _{-R}^{R}f(x)\,dx\,.}$

El lado izquierdo se puede calcular usando el teorema del residuo para obtener, para todo R mayor que el máximo de | z ₁ | , | z ₂ | , …, | z _n | ,

${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,z_{k})\,,}$

donde Res( f , z _k ) denota el residuo de f en la singularidad z _k . Por lo tanto, si f satisface la condición ( * ), entonces tomando el límite cuando R tiende a infinito, la integral de contorno sobre C ₁ se anula por el lema de Jordan y obtenemos el valor de la integral impropia

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,z_{k})\,.}$

La función

${\displaystyle f(z)={\frac {e^{iz}}{1+z^{2}}},\qquad z\in {\mathbb {C} }\setminus \{i,-i\ },}$

satisface la condición del lema de Jordan con a = 1 para todo R > 0 con R ≠ 1 . Nótese que, para R > 1 ,

${\displaystyle M_{R}=\max _{\theta \in [0,\pi ]}{\frac {1}{|1+R^{2}e^{2i\theta }|}}={\frac {1}{R^{2}-1}}\,,}$

Por lo tanto ( * ) es válido. Dado que la única singularidad de f en el semiplano superior está en z = i , la aplicación anterior produce

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ix}}{1+x^{2}}}\,dx=2\pi i\,\operatorname {Res} (f,i)\,.}$

Como z = i es un polo simple de f y 1 + z ² = ( z + i )( z − i ) , obtenemos

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,i)=\lim _{z\to i}(zi)f(z)=\lim _{z\to i}{\frac {e^{iz}} {z+i}}={\frac {e^{-1}}{2i}}}$

de modo que

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\cos x}{1+x^{2}}}\,dx=\operatorname {Re} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ix}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{e}}\,.}$

Este resultado ejemplifica la forma en que algunas integrales difíciles de calcular con métodos clásicos se evalúan fácilmente con la ayuda del análisis complejo.

Este ejemplo muestra que se puede utilizar el lema de Jordan en lugar de un lema de estimación mucho más simple . De hecho, el lema de estimación es suficiente para calcular , así como , por lo que el lema de Jordan no es necesario en este caso. ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ix}}{1+x^{2}}}\,dx}$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\cos x}{1+x^{2}}}\,dx}$

Por definición de la integral de línea compleja ,

${\displaystyle \int _{C_{R}}f(z)\,dz=\int _{0}^{\pi }g(Re^{i\theta })\,e^{iaR(\cos \theta +i\sin \theta )}\,iRe^{i\theta }\,d\theta =R\int _{0}^{\pi }g(Re^{i\theta })\,e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}\,ie^{i\theta }\,d\theta \,.}$

Ahora la desigualdad

${\displaystyle {\biggl |}\int _{a}^{b}f(x)\,dx{\biggr |}\leq \int _{a}^{b}\izquierda|f(x)\derecha|\,dx}$

rendimientos

${\displaystyle I_{R}:={\biggl |}\int _{C_{R}}f(z)\,dz{\biggr |}\leq R\int _{0}^{\pi }{\bigl |}g(Re^{i\theta })\,e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}\,ie^{i\theta }{\bigr |}\,d\theta =R\int _{0}^{\pi }{\bigl |}g(Re^{i\theta }){\bigr |}\,e^{-aR\sin \theta }\,d\theta \,.}$

Utilizando M _R como se define en ( * ) y la simetría sin θ = sin( π − θ ) , obtenemos

${\displaystyle I_{R}\leq RM_{R}\int _{0}^{\pi }e^{-aR\sin \theta }\,d\theta =2RM_{R}\int _{0} ^{\pi /2}e^{-aR\sin \theta }\,d\theta \,.}$

Dado que la gráfica de sen θ es cóncava en el intervalo θ ∈ [0, π ⁄ 2] , la gráfica de sen θ se encuentra por encima de la línea recta que conecta sus puntos finales, por lo tanto

${\displaystyle \sin \theta \geq {\frac {2\theta }{\pi }}\quad }$

para todo θ ∈ [0, π ⁄ 2] , lo que implica además

${\displaystyle I_{R}\leq 2RM_{R}\int _{0}^{\pi /2}e^{-2aR\theta /\pi }\,d\theta ={\frac {\pi }{a}}(1-e^{-aR})M_{R}\leq {\frac {\pi }{a}}M_{R}\,.}$

• Lema de estimación

• Brown, James W.; Churchill, Ruel V. (2004). Variables complejas y aplicaciones (7.ª ed.). Nueva York: McGraw Hill. pp. 262–265. ISBN 0-07-287252-7.