Teorema de Jordan-Schur

En matemáticas , el teorema de Jordan-Schur, también conocido como teorema de Jordan sobre grupos lineales finitos , es un teorema en su forma original debido a Camille Jordan . En esa forma, establece que existe una función ƒ ( n ) tal que, dado un subgrupo finito G del grupo GL( n , C ) de matrices complejas invertibles n por n , existe un subgrupo H de G con las siguientes propiedades:

• H es abeliano .
• H es un subgrupo normal de G.
• El índice de H en G satisface ( G  : H ) ≤  ƒ ( n ).

Schur demostró un resultado más general que se aplica cuando no se supone que G sea finito, sino simplemente periódico . Schur demostró que ƒ ( n ) puede tomarse como

((8 norte ) ^1/2  + 1) ^{2 norte 2}  - ((8 norte ) ^1/2  - 1) ^{2 norte 2} . ^[1]

Un límite más estricto (para n  ≥ 3) se debe a Speiser , quien demostró que mientras G sea finito, se puede tomar

ƒ ( norte ) =  norte ! 12 ^{norte ( π ( norte +1)+1)}

donde π ( n ) es la función de conteo de primos . ^{[1] [2]} Esto fue mejorado posteriormente por Hans Frederick Blichfeldt quien reemplazó el 12 con un 6. Boris Weisfeiler también realizó un trabajo no publicado sobre el caso finito . ^[3] Posteriormente, Michael Collins, utilizando la clasificación de grupos simples finitos , demostró que en el caso finito, uno puede tomar ƒ ( n ) = ( n + 1)! cuando n es al menos 71, y dio descripciones casi completas del comportamiento para n más pequeños .

• El problema de Burnside