Marcos de Jordan y Einstein

En la teoría escalar-tensorial, el lagrangiano puede expresarse en el marco de Jordan o en el marco de Einstein , que son variables de campo que enfatizan diferentes aspectos de las ecuaciones del campo gravitatorio y las ecuaciones de evolución de los campos de materia. En el marco de Jordan , el campo escalar, o alguna función del mismo, multiplica al escalar de Ricci en el lagrangiano, y la materia suele estar acoplada mínimamente a la métrica. En cambio, en el marco de Einstein, el escalar de Ricci no se multiplica por el campo escalar, y la materia está acoplada de forma no mínima. Como resultado, en el marco de Einstein, las ecuaciones de campo para la métrica espacio-temporal se asemejan a las ecuaciones de Einstein , pero las partículas de prueba no se mueven sobre geodésicas de la métrica. Por otro lado, en el marco de Jordan, las partículas de prueba se mueven sobre geodésicas, pero las ecuaciones de campo son muy diferentes de las ecuaciones de Einstein. La estructura causal en ambos marcos es siempre equivalente, y pueden transformarse entre sí según convenga para la aplicación dada.

Christopher Hill y Graham Ross han demostrado que existen "términos de contacto gravitacional" en el marco de Jordan, mediante los cuales la acción se modifica por el intercambio de gravitones . Esta modificación conduce de vuelta al marco de Einstein como la teoría efectiva. ^{[ 1 ]} Las interacciones de contacto surgen en los diagramas de Feynman cuando un vértice contiene una potencia del momento intercambiado,${\displaystyle q^{2}}$, que luego se cancela contra el propagador de Feynman ,${\displaystyle 1/q^{2}}$Esto da lugar a una interacción puntual. Debe incluirse como parte de la acción efectiva de la teoría. Cuando se incluye el término de contacto, los resultados para las amplitudes en el marco de Jordan serán equivalentes a los del marco de Einstein, y los resultados de los cálculos físicos en el marco de Jordan que omitan los términos de contacto serán generalmente incorrectos. Esto implica que la acción en el marco de Jordan es engañosa, y que el marco de Einstein es el único correcto para representar completamente la física.

Si realizamos el reescalado de Weyl${\displaystyle {\tilde {g}}_{\mu \nu }=\Phi ^{-2/(d-2)}g_{\mu \nu }}$, entonces los tensores de Riemann y Ricci se modifican de la siguiente manera.

${\displaystyle {\sqrt {-{\tilde {g}}}}=\Phi ^{-d/(d-2)}{\sqrt {-g}}}$

${\displaystyle {\tilde {R}}=\Phi ^{2/(d-2)}\left[R+{\frac {2(d-1)}{d-2}}{\frac {\Box \Phi }{\Phi }}-{\frac {3(d-1)}{(d-2)}}\left({\frac {\nabla \Phi }{\Phi }}\right)^{2}\right]}$

Como ejemplo, consideremos la transformación de una acción escalar-tensorial simple con un conjunto arbitrario de campos de materia.${\displaystyle \psi _{\mathrm {m} }}$acoplado mínimamente al fondo curvo

${\displaystyle S=\int d^{d}x{\sqrt {-{\tilde {g}}}}\Phi {\tilde {R}}+S_{\mathrm {m} }[{\tilde {g}}_{\mu \nu },\psi _{\mathrm {m} }]=\int d^{d}x{\sqrt {-g}}\left[R+{\frac {2(d-1)}{d-2}}{\frac {\Box \Phi }{\Phi }}-{\frac {3(d-1)}{(d-2)}}\left(\nabla \left(\ln \Phi \right)\right)^{2}\right]+S_{\mathrm {m} }[\Phi ^{-2/(d-2)}g_{\mu \nu },\psi _{\mathrm {m} }]}$

Los campos con tilde corresponden entonces a cantidades en el marco de Jordan y los campos sin tilde corresponden a campos en el marco de Einstein. Nótese que la acción de la materia${\displaystyle S_{\mathrm {m} }}$Los cambios se producen únicamente en el reescalado de la métrica.

Los marcos de Jordan y Einstein se construyen para simplificar ciertas partes de las ecuaciones físicas, lo que también otorga a los marcos y a los campos que aparecen en ellos interpretaciones físicas particulares. Por ejemplo, en el marco de Einstein, las ecuaciones para el campo gravitatorio tendrán la forma

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }=\mathrm {otros\;campos} \,.}$

Es decir, pueden interpretarse como las ecuaciones de Einstein habituales con fuentes particulares en el lado derecho. De manera similar, en el límite newtoniano se recuperaría la ecuación de Poisson para el potencial newtoniano con términos fuente separados.

Sin embargo, al transformar al marco de Einstein, los campos de materia ahora están acoplados no solo al fondo sino también al campo.${\displaystyle \Phi }$que ahora actúa como un potencial efectivo. Específicamente, una partícula de prueba aislada experimentará una aceleración universal de cuatro niveles.

${\displaystyle a^{\mu }={\frac {-1}{d-2}}{\frac {\Phi _ {,\nu }}{\Phi }}(g^{\mu \nu }+u^{\mu }u^{\nu }),}$

dónde${\displaystyle u^{\mu }}$es la cuadrivelocidad de la partícula . Es decir, ninguna partícula estará en caída libre en el marco de Einstein.

Por otro lado, en el marco de Jordania, todos los campos de materia${\displaystyle \psi _{\mathrm {m} }}$están acoplados mínimamente a${\displaystyle {\tilde {g}}_{\mu \nu }}$y las partículas de prueba aisladas se moverán en geodésicas con respecto a la métrica${\displaystyle {\tilde {g}}_{\mu \nu }}$Esto significa que si reconstruyéramos el tensor de curvatura de Riemann mediante mediciones de desviación geodésica , obtendríamos el tensor de curvatura en el marco de Jordan. Por otro lado, si deducimos la presencia de fuentes de materia por efecto de lente gravitacional a partir de la teoría relativista habitual, obtenemos la distribución de las fuentes de materia en el marco de Einstein.

La gravedad del marco de Jordan se puede utilizar para calcular la evolución cosmológica de rebote singular de tipo IV, para derivar la singularidad de tipo IV. ^{[ 2 ]}

• Albert Einstein
• Pascual Jordán

• Valerio Faraoni, Edgard Gunzig, Pasquale Nardone, Transformaciones conformes en teorías gravitacionales clásicas y en cosmología, Fundam. Cosm. Phys. 20 (1999):121, arXiv : gr-qc/9811047 .
• Eanna E. Flanagan, La libertad de marco conforme en teorías de la gravitación, Class. Q. Grav. 21 (2004):3817, arXiv : gr-qc/0403063 .