La desigualdad de Jørgensen

En la teoría matemática de los grupos kleinianos , la desigualdad de Jørgensen es una desigualdad que involucra las trazas de los elementos de un grupo kleiniano , demostrada por Troels Jørgensen ( 1976 ) . ^{[ 1 ]} 

La desigualdad establece que si A y B generan un subgrupo discreto no elemental del SL ₂ ( C ), entonces

${\displaystyle \left|\operatorname {Tr} (A)^{2}-4\right|+\left|\operatorname {Tr} \left(ABA^{-1}B^{-1}\right)-2\right|\geq 1.\,}$

La desigualdad proporciona una estimación cuantitativa de la discreción del grupo: muchos de los corolarios estándar acotan elementos del grupo lejos de la identidad. Por ejemplo, si A es parabólica , entonces

${\displaystyle \left\|AI\right\|\ \left\|BI\right\|\geq 1\,}$

dónde${\displaystyle \|\cdot \|}$denota la norma usual en SL ₂ ( C ). ^{[ 2 ]}

Otra consecuencia en el caso parabólico es la existencia de entornos de cúspide en variedades hiperbólicas tridimensionales : si G es un grupo kleiniano y j es un elemento parabólico de G con punto fijo w , entonces existe una horobola con base en w que se proyecta a un entorno de cúspide en el espacio cociente.${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}/G}$La desigualdad de Jørgensen se utiliza para demostrar que todo elemento de G que no tiene un punto fijo en w desplaza completamente la horobola fuera de sí misma y, por lo tanto, no afecta la geometría local del cociente en w ; intuitivamente, la geometría está completamente determinada por el elemento parabólico. ^{[ 3 ]}

• El lema de Margulis es una generalización cualitativa a espacios más generales de curvatura negativa.