Cuarta, quinta y sexta derivadas de la posición

En física , las derivadas cuarta, quinta y sexta de la posición se definen como derivadas del vector de posición con respecto al tiempo ; las derivadas primera, segunda y tercera son velocidad , aceleración y tirón , respectivamente. Las derivadas de orden superior son menos comunes que las tres primeras; ^{[1] [2]} por lo tanto, sus nombres no están tan estandarizados, aunque el concepto de trayectoria de ajuste mínima se ha utilizado en robótica y está implementado en MATLAB . ^[3]

La cuarta derivada se conoce como snap , lo que lleva a que las derivadas quinta y sexta se denominen "a veces de manera algo jocosa" [ ^4] crackle y pop , inspirados en las mascotas de Rice Krispies Snap, Crackle y Pop . ^[5] La cuarta derivada también se denomina jounce . ^[4]

El chasquido, ^[6] o rebote, ^[2] es la cuarta derivada del vector de posición con respecto al tiempo , o la tasa de cambio del tirón con respecto al tiempo. ^[4] De manera equivalente, es la segunda derivada de la aceleración o la tercera derivada de la velocidad , y se define por cualquiera de las siguientes expresiones equivalentes: En ingeniería civil , el diseño de vías ferroviarias y carreteras implica la minimización del chasquido, particularmente alrededor de curvas con diferentes radios de curvatura . Cuando el chasquido es constante, el tirón cambia linealmente, lo que permite un aumento suave en la aceleración radial , y cuando, como se prefiere, el chasquido es cero, el cambio en la aceleración radial es lineal. La minimización o eliminación del chasquido se realiza comúnmente utilizando una función clotoide matemática . Minimizar el chasquido mejora el rendimiento de las máquinas herramienta y las montañas rusas. ^[1]$${\displaystyle {\vec {s}}={\frac {d\,{\vec {\jmath }}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {a}}}{ dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {v}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {r}} }{dt^{4}}}.}$$

Las siguientes ecuaciones se utilizan para el ajuste constante: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}t,\\{\vec {a}} &={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}t^{2},\\{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}t+{\tfrac {1 }{2}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}t^{3},\\{\ vec{r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec { \jmath }}_{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}t^{4},\end{alineado}}}$$

dónde

La notación (utilizada por Visser ^[4] ) no debe confundirse con el vector de desplazamiento comúnmente denotado de manera similar. ${\displaystyle {\vec {s}}}$

Las dimensiones del chasquido son la distancia por cuarta potencia del tiempo (LT ⁻⁴ ). La unidad SI correspondiente es el metro por segundo elevado a la cuarta potencia, m/s ⁴ , m⋅s ⁻⁴ .

La quinta derivada del vector de posición con respecto al tiempo a veces se denomina crujido. ^[5] Es la tasa de cambio del chasquido con respecto al tiempo. ^{[5] [4]} El crujido se define mediante cualquiera de las siguientes expresiones equivalentes: $${\displaystyle {\vec {c}}={\frac {d{\vec {s}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {\jmath }}}{dt^ {2}}}={\frac {d^{3}{\vec {a}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {v}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {r}}}{dt^{5}}}}$$

Las siguientes ecuaciones se utilizan para el crepitar constante: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {s}}&={\vec {s}}_{0}+{\vec {c}}\,t\\[1ex]{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {c}}\,t^{2}\\[1ex]{\vec {a}}&={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {c}}\,t^{3}\\[1ex]{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {c}}\,t^{4}\\[1ex]{\vec {r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {c}}\,t^{5}\end{aligned}}}$$

dónde

Las dimensiones del crujido son LT ⁻⁵ . La unidad SI correspondiente es m/s ⁵ .

La sexta derivada del vector de posición con respecto al tiempo a veces se denomina pop. ^[5] Es la tasa de cambio del crujido con respecto al tiempo. ^{[5] [4]} El pop se define mediante cualquiera de las siguientes expresiones equivalentes:

$${\displaystyle {\vec {p}}={\frac {d{\vec {c}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {s}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {\jmath }}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {a}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {v}}}{dt^{5}}}={\frac {d^{6}{\vec {r}}}{dt^{6}}}}$$

Las siguientes ecuaciones se utilizan para pop constante: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {c}}&={\vec {c}}_{0}+{\vec {p}}\,t\\{\vec {s}}&={\vec {s}}_{0}+{\vec {c}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {p}}\,t^{2}\\{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {c}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {p}}\,t^{3}\\{\vec {a}}&={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {c}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {p}}\,t^{4}\\{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {c}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {p}}\,t^{5}\\{\vec {r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {c}}_{0}\,t^{5}+{\tfrac {1}{720}}{\vec {p}}\,t^{6}\end{aligned}}}$$

dónde

Las dimensiones de pop son LT ⁻⁶ . La unidad SI correspondiente es m/s ⁶ .

• La definición del diccionario de jounce en Wikcionario