Julia estableció

En dinámica compleja , el conjunto de Julia y el conjunto de Fatou son dos conjuntos complementarios (Julia "encajes" y Fatou "polvo") definidos a partir de una función . De manera informal, el conjunto de Fatou de la función consta de valores que se comportan de forma similar ante iteraciones repetidas de la función, mientras que el conjunto de Julia consta de valores tales que una perturbación arbitrariamente pequeña puede provocar cambios drásticos en la secuencia de valores iterados de la función. Por lo tanto, el comportamiento de la función en el conjunto de Fatou es "regular", mientras que en el conjunto de Julia su comportamiento es " caótico ".

El conjunto de Julia de una función f se denota comúnmente${\displaystyle \operatorname {J} (f),}$y el conjunto de Fatou se denota${\displaystyle \operatorname {F} (f).}$^{[ a ]} ​​Estos conjuntos reciben su nombre de los matemáticos francesesGaston Julia ^{[ 1 ]} yPierre Fatou ^{[ 2 ]} cuyo trabajo inició el estudio de ladinámica complejaa principios del siglo XX.

Dejar${\displaystyle f(z)}$ser una función meromorfa no constante de la esfera de Riemann sobre sí misma. Tales funciones${\displaystyle f(z)}$son precisamente las funciones racionales complejas no constantes , es decir,${\displaystyle f(z)=p(z)/q(z)}$dónde${\displaystyle p(z)}$y${\displaystyle q(z)}$son polinomios complejos . Supongamos que p y q no tienen raíces comunes y que al menos uno tiene grado mayor que 1. Entonces existe un número finito de conjuntos abiertos.${\displaystyle F_{1},...,F_{r}}$que quedan invariables por${\displaystyle f(z)}$y son tales que:

1. La unión de los conjuntos${\displaystyle F_{i}}$es denso en el plano y
2. ${\displaystyle f(z)}$se comporta de manera regular e igual en cada uno de los conjuntos${\displaystyle F_{i}}$.

La última afirmación significa que los extremos de las secuencias de iteraciones generadas por los puntos de${\displaystyle F_{i}}$son o bien exactamente el mismo conjunto, que entonces es un ciclo finito, o bien son ciclos finitos de conjuntos de forma circular o anular que se encuentran concéntricamente. En el primer caso el ciclo es atractor , en el segundo caso es neutral .

Estos conjuntos${\displaystyle F_{i}}$son los dominios Fatou de${\displaystyle f(z)}$y su unión es el conjunto Fatou${\displaystyle \operatorname {F} (f)}$de${\displaystyle f(z)}$Cada uno de los dominios de Fatou contiene al menos un punto crítico de${\displaystyle f(z)}$, es decir, un punto (finito) z que satisface${\displaystyle f'(z)=0}$, o${\displaystyle f(z)=\infty }$si el grado del numerador${\displaystyle p(z)}$es al menos dos veces mayor que el grado del denominador${\displaystyle q(z)}$, o si${\displaystyle f(z)=1/g(z)+c}$para algún c y una función racional${\displaystyle g(z)}$satisfaciendo esta condición.

El complemento de${\displaystyle \operatorname {F} (f)}$¿Es el conjunto de Julia?${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$de${\displaystyle f(z)}$Si todos los puntos críticos son preperiódicos, es decir, no son periódicos pero finalmente caen en un ciclo periódico, entonces${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$es toda la esfera. De lo contrario,${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$es un conjunto no denso en ninguna parte (carece de puntos interiores) y un conjunto no numerable (de la misma cardinalidad que los números reales). Como${\displaystyle \operatorname {F} (f)}$,${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$queda invariante por${\displaystyle f(z)}$y en este conjunto la iteración es repulsiva, lo que significa que${\displaystyle |f(z)-f(w)|>|zw|}$para todo w en un vecindario de z (dentro de${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$). Esto significa que${\displaystyle f(z)}$El comportamiento es caótico en el conjunto de Julia. Si bien existen puntos en el conjunto de Julia cuya secuencia de iteraciones es finita, solo hay un número contable de dichos puntos (y constituyen una parte infinitesimal del conjunto de Julia). Las secuencias generadas por puntos fuera de este conjunto se comportan de forma caótica, un fenómeno denominado caos determinista .

Se han realizado numerosas investigaciones sobre el conjunto de Fatou y el conjunto de Julia de funciones racionales iteradas , conocidas como mapas racionales. Por ejemplo, se sabe que el conjunto de Fatou de un mapa racional tiene 0, 1, 2 o un número infinito de componentes . ^{[ 3 ]} Cada componente del conjunto de Fatou de un mapa racional puede clasificarse en una de cuatro clases diferentes . ^{[ 4 ]}

• ${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$es el conjunto cerrado más pequeño que contiene al menos tres puntos y que es completamente invariante bajo f .
• ${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$es el cierre del conjunto de puntos periódicos repulsivos .
• En todos los casos, salvo como máximo en dos puntos.${\displaystyle \;z\in X\;,}$El conjunto de Julia es el conjunto de puntos límite de la órbita completa hacia atrás.${\displaystyle \bigcup _{n}f^{-n}(z).}$(Esto sugiere un algoritmo sencillo para representar gráficamente conjuntos de Julia; véase más abajo).
• Si f es una función entera , entonces${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$es el límite del conjunto de puntos que convergen al infinito bajo iteración.
• Si f es un polinomio, entonces${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$es el límite del conjunto de Julia lleno ; es decir, aquellos puntos cuyas órbitas bajo iteraciones de f permanecen acotadas.

El conjunto de Julia y el conjunto de Fatou de f son ambos completamente invariantes bajo iteraciones de la función holomorfa f : ^{[ 5 ]}

${\displaystyle f^{-1}(\operatorname {J} (f))=f(\operatorname {J} (f))=\operatorname {J} (f),}$

${\displaystyle f^{-1}(\operatorname {F} (f))=f(\operatorname {F} (f))=\operatorname {F} (f).}$

Para${\displaystyle f(z)=z^{2}}$El conjunto de Julia es el círculo unitario y en este la iteración viene dada por la duplicación de ángulos (una operación que es caótica en los puntos cuyo argumento no es una fracción racional de${\displaystyle 2\pi }$). Hay dos dominios de Fatou: el interior y el exterior del círculo, con iteración hacia 0 e ∞, respectivamente.

Para${\displaystyle g(z)=z^{2}-2}$El conjunto de Julia es el segmento de línea entre −2 y 2. Hay un dominio de Fatou : los puntos que no están en el segmento de línea iteran hacia ∞. (Aparte de un desplazamiento y escalado del dominio, esta iteración es equivalente a${\displaystyle x\to 4(x-{\tfrac {1}{2}})^{2}}$en el intervalo unitario, que se usa comúnmente como ejemplo de sistema caótico.)

Las funciones f y g son de la forma${\displaystyle z^{2}+c}$donde c es un número complejo. En esta iteración, el conjunto de Julia no es, en general, una curva simple, sino un fractal, y para algunos valores de c puede adoptar formas sorprendentes. Véanse las imágenes a continuación.

Para algunas funciones f ( z ) podemos decir de antemano que el conjunto de Julia es un fractal y no una curva simple. Esto se debe al siguiente resultado sobre las iteraciones de una función racional:

Esto significa que cada punto del conjunto de Julia es un punto de acumulación para cada uno de los dominios de Fatou. Por lo tanto, si hay más de dos dominios de Fatou, cada punto del conjunto de Julia debe tener puntos de más de dos conjuntos abiertos diferentes infinitamente cerrados, y esto significa que el conjunto de Julia no puede ser una curva simple. Este fenómeno ocurre, por ejemplo, cuando f ( z ) es la iteración de Newton para resolver la ecuación.${\displaystyle \;P(z):=z^{n}-1=0~:~n>2\;}$:

${\displaystyle f(z)=z-{\frac {P(z)}{P'(z)}}={\frac {\;1+(n-1)z^{n}\;}{nz^{n-1}}}~.}$

La imagen de la derecha muestra el caso n = 3.

Un sistema dinámico complejo muy popular viene dado por la familia de polinomios cuadráticos complejos , un caso especial de aplicaciones racionales . Dichos polinomios cuadráticos pueden expresarse como

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c~,}$

donde c es un parámetro complejo. Fijar algunos${\displaystyle R>0}$lo suficientemente grande como para${\displaystyle R^{2}-R\geq |c|.}$(Por ejemplo, si c está en el conjunto de Mandelbrot , entonces${\displaystyle |c|\leq 2,}$así que podemos simplemente dejar${\displaystyle R=2~.}$) Entonces, el conjunto de Julia lleno para este sistema es el subconjunto del plano complejo dado por

${\displaystyle K(f_{c})=\left\{z\in \mathbb {C}$ :\forall n\in \mathbb {N} ,|f_{c}^{n}(z)|\leq R\right\}~,}

dónde${\displaystyle f_{c}^{n}(z)}$es la enésima iteración de${\displaystyle f_{c}(z).}$El conjunto Julia${\displaystyle J(f_{c})}$de esta función es el límite de${\displaystyle K(f_{c})}$.

• 
  Julia se prepara para${\displaystyle z^{2}+0.7885\,e^{ia},}$donde a varía de 0 a${\displaystyle 2\pi }$
• Un video de Julia se coloca como se muestra a la izquierda
• 
  Conjunto de Julia completo para f _c , c = 1 − φ , donde φ es la proporción áurea.
• 
  Julia estableció para f _c , c = ( φ − 2) + ( φ − 1) i = −0.4 + 0.6 i
• 
  Julia estableció para f _c , c = 0.285 + 0 i
• 
  Julia estableció para f _c , c = 0.285 + 0.01 i
• 
  Julia estableció para f _c , c = 0.45 + 0.1428 i
• 
  Julia estableció para f _c , c = −0.70176 − 0.3842 i
• 
  Julia estableció para f _c , c = −0.835 − 0.2321 i
• 
  Julia estableció para f _c , c = −0.8 + 0.156 i
• 
  Julia estableció para f _c , v c = −0.7269 + 0.1889 i
• 
  Julia estableció para f _c , c = -0.8 i
• 
  Julia estableció para f _c , c = 0.35 + 0.35 i
• 
  Julia estableció para f _c , c = 0.4 + 0.4 i
• 
  Colección de conjuntos de Julia dispuestos en una cuadrícula de 100 × 100, de manera que el centro de cada imagen corresponde a la misma posición en el plano complejo que el valor del conjunto. Al disponerse de esta forma, la imagen resultante se asemeja a un mosaico fotográfico que representa un conjunto de Mandelbrot .

El plano de parámetros de los polinomios cuadráticos  – es decir, el plano de los posibles valores de c  – da lugar al famoso conjunto de Mandelbrot . De hecho, el conjunto de Mandelbrot se define como el conjunto de todos los c tales que${\displaystyle J(f_{c})}$está conectado . Para parámetros fuera del conjunto de Mandelbrot, el conjunto de Julia es un espacio de Cantor : en este caso, a veces se le denomina polvo de Fatou .

En muchos casos, el conjunto de Julia de c se parece al conjunto de Mandelbrot en entornos suficientemente pequeños de c . Esto es cierto, en particular, para los llamados parámetros de Misiurewicz , es decir, parámetros c para los cuales el punto crítico es preperiódico. Por ejemplo:

• En c = i , la punta más corta del antepié, el conjunto Julia parece un rayo ramificado.
• En c = −2, la punta de la larga cola puntiaguda, el conjunto de Julia es un segmento de línea recta.

En otras palabras, los conjuntos de Julia${\displaystyle J(f_{c})}$son localmente similares alrededor de los puntos de Misiurewicz . ^{[ 6 ]}

La definición de conjuntos de Julia y Fatou se traslada fácilmente al caso de ciertos mapas cuya imagen contiene su dominio; en particular, las funciones meromorfas trascendentales y los mapas de tipo finito de Adam Epstein .

Los conjuntos de Julia también se definen comúnmente en el estudio de la dinámica en varias variables complejas.

Las implementaciones en pseudocódigo que se muestran a continuación codifican las funciones para cada fractal. Considere implementar operaciones con números complejos para lograr un código más dinámico y reutilizable.

R = radio de escape # elige R > 0 tal que R**2 - R >= sqrt(cx**2 + cy**2)para cada píxel ( x , y ) en la pantalla , hacer : { zx = coordenada x escalada del píxel ; # (escala para que esté entre -R y R) # zx representa la parte real de z. zy = coordenada y escalada del píxel ; # (escala para que esté entre -R y R) # zy representa la parte imaginaria de z.iteración = 0 ; iteración_máxima = 1000 ; mientras ( zx * zx + zy * zy < R ** 2 Y iteración < iteración_máxima ) { xtemp = zx * zx - zy * zy ; zy = 2 * zx * zy + cy ; zx = xtemp + cx ; iteración = iteración + 1 ; } si ( iteración == iteración_máxima ) devolver negro ; de lo contrario devolver iteración ; }

R = radio de escape # elige R > 0 tal que R**n - R >= sqrt(cx**2 + cy**2)para cada píxel ( x , y ) en la pantalla , hacer : { zx = coordenada x escalada del píxel ; # (escala para que esté entre -R y R) zy = coordenada y escalada del píxel ; # (escala para que esté entre -R y R) iteración = 0 ; iteración_máxima = 1001 ; mientras ( zx * zx + zy * zy < R ** 2 Y iteración < iteración_máxima ) { xtmp = ( zx * zx + zy * zy ) ^ ( n / 2 ) * cos ( n * atan2 ( zy , zx )) + cx ; zy = ( zx * zx + zy * zy ) ^ ( n / 2 ) * sin ( n * atan2 ( zy , zx )) + cy ; zx = xtmp ; iteración = iteración + 1 ; } si ( iteración == max_iteration ) devuelve negro ; de lo contrario, devuelve iteración ; }

# Simplemente reemplace las últimas 4 líneas de código del último ejemplo con estas líneas de código:if ( iteration == max_iteration ) return black ; else abs_z = zx * zx + zy * zy ; return iteration + 1 - log ( log ( abs_z )) / log ( n );

El set de Julia para${\displaystyle f(z)=z^{2}}$es el círculo unitario, y en el dominio exterior de Fatou, la función potencial φ ( z ) se define por φ ( z ) = log| z |. Las líneas equipotenciales para esta función son círculos concéntricos. Como${\displaystyle |f(z)|=|z|^{2}}$tenemos

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |z_{k}|}{2^{k}}},}$

dónde${\displaystyle z_{k}}$es la secuencia de iteración generada por z . Para la iteración más general${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$Se ha demostrado que si el conjunto de Julia es conexo (es decir, si c pertenece al conjunto de Mandelbrot (usual)), entonces existe una aplicación biholomorfa ψ entre el dominio exterior de Fatou y el exterior del círculo unitario tal que${\displaystyle |\psi (f(z))|=|\psi (z)|^{2}}$. ^{[ 8 ]} Esto significa que la función potencial en el dominio de Fatou exterior definido por esta correspondencia viene dada por:

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |z_{k}|}{2^{k}}}.}$

Esta fórmula también tiene sentido si el conjunto de Julia no es conexo, de modo que para todo c podemos definir la función potencial en el dominio de Fatou que contiene ∞ mediante esta fórmula. Para una función racional general f ( z ) tal que ∞ es un punto crítico y un punto fijo, es decir, tal que el grado m del numerador es al menos dos unidades mayor que el grado n del denominador, definimos la función potencial en el dominio de Fatou que contiene ∞ mediante:

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |z_{k}|}{d^{k}}},}$

donde d = m − n es el grado de la función racional. ^{[ 9 ]}

Si N es un número muy grande (por ejemplo, 10 ¹⁰⁰ ), y si k es el primer número de iteración tal que${\displaystyle |z_{k}|>N}$, tenemos eso

${\displaystyle {\frac {\log |z_{k}|}{d^{k}}}={\frac {\log(N)}{d^{\nu (z)}}},}$

para algún número real${\displaystyle \nu (z)}$, que debe considerarse como el número de iteración real , y tenemos que:

${\displaystyle \nu (z)=k-{\frac {\log(\log |z_{k}|/\log(N))}{\log(d)}},}$

donde el último número está en el intervalo [0,  1).

Para la iteración hacia un ciclo atractor finito de orden r , tenemos que si${\displaystyle z^{*}}$es un punto del ciclo, entonces${\displaystyle f(f(...f(z^{*})))=z^{*}}$(la composición r -ésima), y el número

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\left|(d(f(f(\cdots f(z))))/dz)_{z=z^{*}}\right|}}\qquad (>1)}$

es la atracción del ciclo. Si w es un punto muy cercano${\displaystyle z^{*}}$y w ′ es w iterado r veces, tenemos que

${\displaystyle \alpha =\lim _{k\to \infty }{\frac {|w-z^{*}|}{|w'-z^{*}|}}.}$

Por lo tanto, el número${\displaystyle |z_{kr}-z^{*}|\alpha ^{k}}$es casi independiente de k . Definimos la función potencial en el dominio de Fatou mediante:

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{(|z_{kr}-z^{*}|\alpha ^{k})}}.}$

Si ε es un número muy pequeño y k es el primer número de iteración tal que${\displaystyle |z_{k}-z^{*}|<\epsilon }$, tenemos eso

${\displaystyle \varphi (z)={\frac {1}{(\varepsilon \alpha ^{\nu (z)})}}}$

para algún número real${\displaystyle \nu (z)}$, que debe considerarse como el número de iteración real, y tenemos que:

${\displaystyle \nu (z)=k-{\frac {\log(\varepsilon /|z_{k}-z^{*}|)}{\log(\alpha )}}.}$

Si la atracción es ∞, lo que significa que el ciclo es superatractivo , lo que nuevamente significa que uno de los puntos del ciclo es un punto crítico, debemos reemplazar α por

${\displaystyle \alpha =\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |w'-z^{*}|}{\log |w-z^{*}|}},}$

donde w ′ es w iterado r veces y la fórmula para φ ( z ) es:

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log(1/|z_{kr}-z^{*}|)}{\alpha ^{k}}}.}$

Y ahora el número de iteración real viene dado por:

${\displaystyle \nu (z)=k-{\frac {\log(\log |z_{k}-z^{*}|/\log(\varepsilon ))}{\log(\alpha )}}.}$

Para la coloración debemos tener una escala cíclica de colores (construida matemáticamente, por ejemplo) que contenga H colores numerados del 0 al H −1 ( H = 500, por ejemplo). Multiplicamos el número real${\displaystyle \nu (z)}$mediante un número real fijo que determina la densidad de los colores en la imagen, y tomar la parte entera de este número módulo H.

La definición de la función potencial y nuestra forma de colorear presuponen que el ciclo es atractor, es decir, no neutro. Si el ciclo es neutro, no podemos colorear el dominio de Fatou de forma natural. Dado que el final de la iteración es un movimiento de rotación, podemos, por ejemplo, colorear según la distancia mínima al ciclo que queda fijo tras la iteración.

En cada dominio de Fatou (que no es neutral) hay dos sistemas de líneas ortogonales entre sí: las líneas equipotenciales (para la función potencial o el número de iteración real) y las líneas de campo .

Si coloreamos el dominio de Fatou según el número de iteración (y no el número de iteración real)${\displaystyle \nu (z)}$, como se define en la sección anterior), las bandas de iteración muestran el curso de las líneas equipotenciales. Si la iteración es hacia ∞ (como es el caso con el dominio de Fatou exterior para la iteración usual${\displaystyle z^{2}+c}$), podemos mostrar fácilmente el curso de las líneas de campo, es decir, alterando el color según si el último punto en la secuencia de iteración está por encima o por debajo del eje x (primera imagen), pero en este caso (más precisamente: cuando el dominio de Fatou es superatractor) no podemos dibujar las líneas de campo de manera coherente, al menos no por el método que describimos aquí. En este caso, una línea de campo también se llama rayo externo .

Sea z un punto en el dominio de Fatou atractor. Si iteramos z un gran número de veces, el término de la secuencia de iteración es un ciclo finito C , y el dominio de Fatou es (por definición) el conjunto de puntos cuya secuencia de iteración converge hacia C. Las líneas de campo parten de los puntos de C y de los (infinitos) puntos que iteran hacia un punto de C. Y terminan en el conjunto de Julia en puntos que no son caóticos (es decir, que generan un ciclo finito). Sea r el orden del ciclo C (su número de puntos) y sea${\displaystyle z^{*}}$ser un punto en C. Tenemos${\displaystyle f(f(\dots f(z^{*})))=z^{*}}$(la composición r-ésima), y definimos el número complejo α por

${\displaystyle \alpha =(d(f(f(\dots f(z))))/dz)_{z=z^{*}}.}$

Si los puntos de C son${\displaystyle z_{i},i=1,\dots ,r(z_{1}=z^{*})}$, α es el producto de los números r${\displaystyle f'(z_{i})}$El número real 1/|α| es la atracción del ciclo, y nuestra suposición de que el ciclo no es ni neutro ni superatractor, significa que 1 < 1 / | α | < ∞ . El punto${\displaystyle z^{*}}$es un punto fijo para${\displaystyle f(f(\dots f(z)))}$y cerca de este punto el mapa${\displaystyle f(f(\dots f(z)))}$tiene (en relación con las líneas de campo) carácter de una rotación con el argumento β de α (es decir,${\displaystyle \alpha =|\alpha |e^{\beta i}}$).

Para colorear el dominio de Fatou, hemos elegido un número pequeño ε y establecido las secuencias de iteración.${\displaystyle z_{k}(k=0,1,2,\dots ,z_{0}=z)}$parar cuando${\displaystyle |z_{k}-z^{*}|<\epsilon }$y coloreamos el punto z según el número k (o el número de iteración real, si preferimos un coloreado suave). Si elegimos una dirección desde${\displaystyle z^{*}}$dada por un ángulo θ , la línea de campo que sale de${\displaystyle z^{*}}$en esta dirección consiste en los puntos z tales que el argumento ψ del número${\displaystyle z_{k}-z^{*}}$satisface la condición de que

${\displaystyle \psi -k\beta =\theta \mod \pi .\,}$

Porque si pasamos una banda de iteración en la dirección de las líneas de campo (y lejos del ciclo), el número de iteración k aumenta en 1 y el número ψ aumenta en β, por lo tanto el número${\displaystyle \psi -k\beta \mod \pi }$es constante a lo largo de la línea de campo.

Una coloración de las líneas de campo del dominio de Fatou significa que coloreamos los espacios entre pares de líneas de campo: elegimos una serie de direcciones situadas regularmente que parten de${\displaystyle z^{*}}$En cada una de estas direcciones, elegimos dos direcciones alrededor de esta dirección. Como puede ocurrir que las dos líneas de campo de un par no terminen en el mismo punto del conjunto de Julia, nuestras líneas de campo coloreadas pueden ramificarse (infinitamente) en su camino hacia el conjunto de Julia. Podemos colorear en función de la distancia a la línea central de la línea de campo, y podemos combinar este coloreado con el coloreado habitual. Tales imágenes pueden ser muy decorativas (segunda imagen).

Una línea de campo coloreada (el dominio entre dos líneas de campo) se divide mediante bandas de iteración, y dicha parte se puede correlacionar biunívocamente con el cuadrado unitario: una coordenada es (calculada a partir de) la distancia desde una de las líneas de campo delimitadoras, y la otra es (calculada a partir de) la distancia desde el interior de las bandas de iteración delimitadoras (este número es la parte no entera del número real de iteraciones). Por lo tanto, podemos representar gráficamente las líneas de campo (tercera imagen).

Métodos  :

• Método de estimación de distancias para el conjunto de Julia (DEM/J)
• Método de iteración inversa (IIM)

Utilizando la iteración inversa (IIM)

Como se mencionó anteriormente, el conjunto de Julia se puede encontrar como el conjunto de puntos límite del conjunto de preimágenes de (esencialmente) cualquier punto dado. Entonces podemos intentar graficar el conjunto de Julia de una función dada de la siguiente manera. Comenzamos con cualquier punto z que sabemos que está en el conjunto de Julia, como un punto periódico repulsivo, y calculamos todas las preimágenes de z bajo alguna iteración alta.${\displaystyle f^{n}}$apagado .​

Desafortunadamente, dado que el número de preimágenes iteradas crece exponencialmente, esto no es factible computacionalmente. Sin embargo, podemos ajustar este método, de manera similar al método del "juego aleatorio" para sistemas de funciones iteradas . Es decir, en cada paso, elegimos al azar una de las imágenes inversas de f .

Por ejemplo, para el polinomio cuadrático f _c , la iteración hacia atrás se describe mediante

${\displaystyle z_{n-1}={\sqrt {z_{n}-c}}.}$

En cada paso, se selecciona al azar una de las dos raíces cuadradas.

Cabe señalar que ciertas partes del conjunto de Julia son bastante difíciles de acceder con el algoritmo inverso de Julia. Por este motivo, es necesario modificar IIM/J (un ejemplo de ello es MIIM/J ^{[ 10 ]} ) o utilizar otros métodos para obtener mejores imágenes.

• Conejo Douady
• Límite establecido
• Conjuntos estables e inestables
• Teorema de no existencia de dominio errante
• Teoría del caos

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