Saltar la línea

En matemáticas, una línea de salto o línea excepcional de un fibrado vectorial sobre el espacio proyectivo es una línea proyectiva en el espacio proyectivo donde el fibrado vectorial presenta un comportamiento excepcional; en otras palabras, la estructura de su restricción a la línea "salta". Las líneas de salto fueron introducidas por RLE Schwarzenberger en 1961. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Las líneas de salto de un fibrado vectorial forman un subconjunto cerrado propio de la grassmanniana de todas las líneas del espacio proyectivo.

El teorema de Birkhoff-Grothendieck clasifica los haces vectoriales n -dimensionales sobre una línea proyectiva como correspondientes a n -tuplas no ordenadas de enteros. Este fenómeno no puede generalizarse a espacios proyectivos de dimensiones superiores, es decir, no se puede descomponer un haz arbitrario en términos de una suma de Whitney de potencias del haz tautológico , o de hecho de haces lineales en general. Sin embargo, se puede obtener información de este tipo utilizando el siguiente método. Dado un haz en${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$,${\displaystyle {\mathcal {E}}}$, podemos tomar una línea${\displaystyle L}$en${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$, o equivalentemente, un subespacio bidimensional de${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$. Esto forma una variedad equivalente a${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$incrustado en${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$, por lo que podemos la restricción de${\displaystyle {\mathcal {E}}_{L}}$a${\displaystyle L}$y se descompondrá mediante el teorema de Birkhoff-Grothendieck como una suma de potencias del fibrado tautológico. Se puede demostrar que la tupla única de enteros especificada por esta descomposición es la misma para una elección 'genérica' de línea. De forma más técnica, existe una subvariedad abierta y no vacía de la grassmanniana de líneas en${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$con descomposición del mismo tipo. Las líneas cuya descomposición difiere de este tipo genérico se denominan «líneas de salto». Si el fibrado es genéricamente trivial a lo largo de las líneas, entonces las líneas de salto son precisamente aquellas cuya restricción no es trivial.

Supongamos que V es un espacio vectorial complejo de 4 dimensiones con una forma antisimétrica no degenerada. Existe un fibrado vectorial de rango 2 sobre el espacio proyectivo complejo tridimensional asociado a V , que asigna a cada línea L de V el espacio vectorial bidimensional L ^⊥ / L . Entonces, un plano de V corresponde a una línea de salto de este fibrado vectorial si y solo si es isotrópico para la forma antisimétrica.

• Mulase, Motohico (1979), "Polos de instantones y líneas de salto de haces vectoriales algebraicos en P³" , Japan Academy. Proceedings. Series A. Mathematical Sciences , 55 (5): 185–189 , doi : 10.3792/pjaa.55.185 , ISSN 0386-2194 , MR 0533544