El teorema de Jung

En geometría , el teorema de Jung establece una desigualdad entre el diámetro de un conjunto de puntos en cualquier espacio euclidiano y el radio de la esfera mínima que contiene dicho conjunto. Recibe su nombre de Heinrich Jung , quien estudió esta desigualdad por primera vez en 1901. También existen algoritmos para resolver explícitamente el problema del círculo más pequeño .

Consideremos un conjunto compacto

${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$

y dejar

${\displaystyle d=\max _{p,q\,\in \,K}\|p-q\|_{2}}$

Sea el diámetro de K , es decir, la mayor distancia euclidiana entre dos cualesquiera de sus puntos. El teorema de Jung establece que existe una bola cerrada con radio

${\displaystyle r\leq d{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)}}}}$

que contiene K. El caso límite de igualdad se alcanza mediante el n - símplex regular .

El caso más común del teorema de Jung se da en el plano , es decir, cuando n  =  2. En este caso, el teorema establece que existe un círculo que encierra todos los puntos cuyo radio satisface

${\displaystyle r\leq {\frac {d}{\sqrt {3}}},}$

y este límite es lo más ajustado posible ya que cuando K es un triángulo equilátero (o sus tres vértices) se tiene${\displaystyle r={\frac {d}{\sqrt {3}}}.}$

Para cualquier conjunto acotado${\displaystyle S}$en cualquier espacio métrico ,${\displaystyle d/2\leq r\leq d}$La primera desigualdad está implícita en la desigualdad triangular para el centro de la bola y los dos puntos diametrales, y la segunda desigualdad se deduce ya que una bola de radio${\displaystyle d}$centrado en cualquier punto de${\displaystyle S}$contendrá todo${\displaystyle S}$Ambas desigualdades son muy marcadas:

• En un espacio métrico uniforme , es decir, un espacio en el que todas las distancias son iguales,${\displaystyle r=d}$.
• En el otro extremo del espectro, en un espacio métrico inyectivo como la distancia de Manhattan en el plano,${\displaystyle r=d/2}$: cualesquiera dos bolas cerradas de radio${\displaystyle d/2}$centrado en puntos de${\displaystyle S}$tienen una intersección no vacía , por lo tanto todas esas bolas tienen una intersección común y un radio${\displaystyle d/2}$La bola centrada en un punto de esta intersección contiene todo${\displaystyle S}$.

También se conocen versiones del teorema de Jung para diversas geometrías no euclidianas (véase, por ejemplo, Dekster 1995, 1997).

• Katz, M. (1985). "El teorema de Jung en geometría proyectiva compleja". Quart. J. Math. Oxford . 36 (4): 451– 466. doi : 10.1093/qmath/36.4.451 .
• Dekster, BV (1995). "El teorema de Jung para los espacios esféricos e hiperbólicos". Acta Mathematica Hungarica . 67 (4): 315– 331. doi : 10.1007/BF01874495 .
• Dekster, BV (1997). "El teorema de Jung en espacios métricos de curvatura acotada superiormente" . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 125 (8): 2425– 2433. doi : 10.1090/S0002-9939-97-03842-2 .
• Jung, Heinrich (1901). "Über die kleinste Kugel, die eine räumliche Figur einschließt" . J. Reina Angew. Matemáticas. (en alemán). 123 : 241-257 .
• Jung, Heinrich (1910). "Über den kleinsten Kreis, der eine ebene Figur einschließt" . J. Reina Angew. Matemáticas. (en alemán). 137 : 310-313 .
• Rademacher, Hans; Toeplitz, Otto (1990). El disfrute de las matemáticas . Dover. Capítulo 16. ISBN 978-0-486-26242-0.

• Weisstein, Eric W. "Teorema de Jung" . MundoMatemático .