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prueba de Kolmogorov-Smirnov

Ilustración del estadístico de Kolmogorov-Smirnov. La línea roja representa la función de distribución acumulada (FDA) del modelo , la línea azul la FDA empírica y la longitud d...

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Ilustración del estadístico de Kolmogorov-Smirnov. La línea roja representa la función de distribución acumulada (FDA) del modelo , la línea azul la FDA empírica y la longitud de la flecha negra el estadístico de Kolmogorov-Smirnov.

En estadística , la prueba de Kolmogorov-Smirnov (también conocida como prueba K-S o prueba KS ) es una prueba no paramétrica de igualdad de distribuciones de probabilidad continuas (o discontinuas, véase la Sección 2.2 ) y unidimensionales . Se puede utilizar para comprobar si una muestra proviene de una distribución de probabilidad de referencia dada (prueba K-S de una muestra) o para comprobar si dos muestras provienen de la misma distribución (prueba K-S de dos muestras). Recibe su nombre de Andrey Kolmogorov y Nikolai Smirnov , quienes la desarrollaron en la década de 1930. [ 1 ]

El estadístico de Kolmogorov-Smirnov cuantifica la distancia entre la función de distribución empírica de la muestra y la función de distribución acumulativa de la distribución de referencia, o entre las funciones de distribución empíricas de dos muestras. La distribución nula de este estadístico se calcula bajo la hipótesis nula de que la muestra proviene de la distribución de referencia (en el caso de una muestra) o de que las muestras provienen de la misma distribución (en el caso de dos muestras). En el caso de una muestra, la distribución considerada bajo la hipótesis nula puede ser continua (véase la Sección 2 ), puramente discreta o mixta (véase la Sección 2.2 ). En el caso de dos muestras (véase la Sección 3 ), la distribución considerada bajo la hipótesis nula es una distribución continua, pero no está restringida en ningún otro aspecto.

La prueba de Kolmogorov-Smirnov para dos muestras es uno de los métodos no paramétricos más útiles y generales para comparar dos muestras, ya que es sensible a las diferencias tanto en la ubicación como en la forma de las funciones de distribución acumulativa empíricas de las dos muestras.

La prueba de Kolmogorov-Smirnov puede modificarse para servir como prueba de bondad de ajuste . En el caso especial de probar la normalidad de la distribución, las muestras se estandarizan y se comparan con una distribución normal estándar. Esto es equivalente a establecer la media y la varianza de la distribución de referencia iguales a las estimaciones de la muestra, y se sabe que usar estas para definir la distribución de referencia específica cambia la distribución nula del estadístico de prueba (ver Prueba con parámetros estimados ). Varios estudios han encontrado que, incluso en esta forma corregida, la prueba es menos potente para probar la normalidad que la prueba de Shapiro-Wilk o la prueba de Anderson-Darling . [ 2 ] Sin embargo, estas otras pruebas tienen sus propias desventajas. Por ejemplo, se sabe que la prueba de Shapiro-Wilk no funciona bien en muestras con muchos valores idénticos.

Estadístico de Kolmogorov-Smirnov para una muestra

La función de distribución empírica F n para n observaciones ordenadas independientes e idénticamente distribuidas (iid) X i se define como

Fnorte(incógnita)=número de (elementos en la muestra)≤incógnita)norte=1norte∑i=1norte1(−∞,incógnita](incógnitai),{\displaystyle F_{n}(x)={\frac {{\text{número de (elementos en la muestra}}\leq x)}{n}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}1_{(-\infty ,x]}(X_{i}),} dónde1(−∞,incógnita](incógnitai){\displaystyle 1_{(-\infty ,x]}(X_{i})}es la función indicadora , igual a 1 siincógnitai≤incógnita{\displaystyle X_{i}\leq x}y igual a 0 en caso contrario.

El estadístico de Kolmogorov-Smirnov para una función de distribución acumulativa F ( x ) dada es

Dnorte=sorberincógnita|Fnorte(incógnita)−F(incógnita)|{\displaystyle D_{n}=\sup _{x}|F_{n}(x)-F(x)|}

donde sup x es el supremo del conjunto de distancias. Intuitivamente, el estadístico toma la mayor diferencia absoluta entre las dos funciones de distribución para todos los valores de x .

Según el teorema de Glivenko-Cantelli , si la muestra proviene de la distribución F ( x ), entonces D n converge a 0 casi seguramente en el límite cuandonorte{\displaystyle n}tiende al infinito. Kolmogorov reforzó este resultado al proporcionar, de hecho, la tasa de convergencia (véase la distribución de Kolmogorov ). El teorema de Donsker proporciona un resultado aún más contundente.

En la práctica, esta estadística requiere una cantidad relativamente grande de datos (en comparación con otros criterios de bondad de ajuste, como la estadística de prueba de Anderson-Darling ) para rechazar correctamente la hipótesis nula.

distribución de Kolmogorov

Ilustración del PDF de la distribución de Kolmogorov

La distribución de Kolmogorov es la distribución de la variable aleatoria.

K=sorbert∈[0,1]|B(t)|{\displaystyle K=\sup _{t\in [0,1]}|B(t)|}

donde B ( t ) es el puente browniano . La función de distribución acumulativa de K viene dada por [ 3 ].

Pr⁡(K≤incógnita)=1−2∑k=1∞(−1)k−1mi−2k2incógnita2=2πincógnita∑k=1∞mi−(2k−1)2π2/(8incógnita2),{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Pr} (K\leq x)&=1-2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}e^{-2k^{2}x^{2}}\\&={\frac {\sqrt {2\pi }}{x}}\sum _{k=1}^{\infty }e^{-(2k-1)^{2}\pi ^{2}/(8x^{2})},\end{aligned}}}

que también puede expresarse mediante la función theta de Jacobiϑ01(z=0;τ=2iincógnita2/π){\displaystyle \vartheta _ {01}(z=0;\tau =2ix^{2}/\pi )}Tanto la forma del estadístico de prueba de Kolmogorov-Smirnov como su distribución asintótica bajo la hipótesis nula fueron publicadas por Andrey Kolmogorov , [ 4 ] mientras que Nikolai Smirnov publicó una tabla de la distribución . [ 5 ] Se dispone de relaciones de recurrencia para la distribución del estadístico de prueba en muestras finitas. [ 4 ]

Bajo la hipótesis nula de que la muestra proviene de la distribución hipotética F ( x ),

norteDnorte→norte→∞sorbert|B(F(t))|{\displaystyle {\sqrt {n}}D_{n}{\xrightarrow {n\to \infty }}\sup _{t}|B(F(t))|}

en distribución , donde B ( t ) es el puente browniano. Si F es continua, entonces bajo la hipótesis nulanorteDnorte{\displaystyle {\sqrt {n}}D_{n}}converge a la distribución de Kolmogorov, que no depende de F. Este resultado también se conoce como el teorema de Kolmogorov.

La precisión de este límite como aproximación a la CDF exacta deK{\displaystyle K}cuandonorte{\displaystyle n}es finito no es muy impresionante: incluso cuandonorte=1000{\displaystyle n=1000}, el error máximo correspondiente es aproximadamente0,9 %{\displaystyle 0.9~\%}; este error aumenta a2.6 %{\displaystyle 2.6~\%}cuandonorte=100{\displaystyle n=100}y a un nivel totalmente inaceptable7 %{\displaystyle 7~\%}cuandonorte=10{\displaystyle n=10}Sin embargo, existe un recurso muy sencillo para reemplazarlo.incógnita{\displaystyle x}por incógnita+16norte+incógnita−14norte{\displaystyle x+{\frac {1}{6{\sqrt {n}}}}+{\frac {x-1}{4n}}}

en el argumento de la función theta de Jacobi reduce estos errores a 0,003 %{\displaystyle 0.003~\%},0,027%{\displaystyle 0.027\%}, y0,27 %{\displaystyle 0.27~\%}respectivamente; dicha precisión se consideraría generalmente más que adecuada para todas las aplicaciones prácticas. [ 6 ]

La prueba de bondad de ajuste o prueba de Kolmogorov-Smirnov se puede construir utilizando los valores críticos de la distribución de Kolmogorov. Esta prueba es asintóticamente válida cuandonorte→∞.{\displaystyle n\to \infty .}Rechaza la hipótesis nula en el nivelα{\displaystyle \alpha }si

norteDnorte>Kα,{\displaystyle {\sqrt {n}}D_{n}>K_{\alpha },\,}

donde K α se encuentra a partir de

Pr⁡(K≤Kα)=1−α.{\displaystyle \operatorname {Pr} (K\leq K_{\alpha })=1-\alpha .\,}

La potencia asintótica de esta prueba es 1.

Algoritmos rápidos y precisos para calcular la función de distribución acumulada (cdf).Pr⁡(Dnorte≤incógnita){\displaystyle \operatorname {Pr} (D_{n}\leq x)}o su complemento para arbitrarionorte{\displaystyle n}yincógnita{\displaystyle x}, están disponibles en:

  • [ 7 ] y [ 8 ] para distribuciones nulas continuas con código en C y Java que se puede encontrar en. [ 7 ]
  • [ 9 ] para distribución nula puramente discreta, mixta o continua implementada en el paquete KSgeneral [ 10 ] delproyecto R para computación estadística, que para una muestra dada también calcula el estadístico de prueba KS y su valor p. Una implementación alternativa en C++ está disponible en [ 9 ] .

Prueba con parámetros estimados

Si la forma o los parámetros de F ( x ) se determinan a partir de los datos Xi , los valores críticos obtenidos de esta manera no son válidos. En tales casos, puede ser necesario recurrir a métodos de Monte Carlo u otros, pero se han preparado tablas para algunos casos. Se han publicado detalles sobre las modificaciones necesarias al estadístico de prueba y sobre los valores críticos para la distribución normal y la distribución exponencial [ 11 ] , y publicaciones posteriores también incluyen la distribución de Gumbel [ 12 ] . La prueba de Lilliefors representa un caso especial de esto para la distribución normal. La transformación logarítmica puede ayudar a superar los casos en los que los datos de la prueba de Kolmogorov no parecen ajustarse al supuesto de que provienen de la distribución normal.

Utilizando parámetros estimados, surge la pregunta de qué método de estimación se debe usar. Normalmente se usaría el método de máxima verosimilitud , pero, por ejemplo, para la distribución normal, el MLE tiene un gran error de sesgo en sigma. Usar un ajuste de momentos o la minimización de KS en su lugar tiene un gran impacto en los valores críticos, y también cierto impacto en la potencia de la prueba. Si necesitamos decidir para datos t de Student con gl  =  2 mediante la prueba de KS si los datos podrían ser normales o no, entonces una estimación de ML basada en H₀ ( los datos son normales, por lo que se usa la desviación estándar para la escala) daría una distancia KS mucho mayor, que un ajuste con KS mínimo. En este caso deberíamos rechazar H₀ , lo que suele ocurrir con MLE, porque la desviación estándar de la muestra podría ser muy grande para datos T-2, pero con la minimización de KS aún podríamos obtener un KS demasiado bajo para rechazar  H₀ . En el caso de la distribución t de Student, una prueba de KS modificada con la estimación de KS en lugar de MLE, hace que la prueba de KS sea ligeramente peor. Sin embargo, en otros casos, una prueba KS modificada de este tipo da como resultado una potencia de prueba ligeramente mejor.

Distribución nula discreta y mixta

Bajo el supuesto de queF{\displaystyle F}Si es no decreciente y continua por la derecha, con un número contable (posiblemente infinito) de saltos, el estadístico de prueba KS se puede expresar como:

Dnorte=sorberincógnita|Fnorte(incógnita)−F(incógnita)|=sorber0≤t≤1|Fnorte(F−1(t))−F(F−1(t))|.{\displaystyle D_{n}=\sup _{x}|F_{n}(x)-F(x)|=\sup _{0\leq t\leq 1}|F_{n}(F^{-1}(t))-F(F^{-1}(t))|.}

Desde la continuidad derecha deF{\displaystyle F}De ello se deduce queF(F−1(t))≥t{\displaystyle F(F^{-1}(t))\geq t}yF−1(F(incógnita))≤incógnita{\displaystyle F^{-1}(F(x))\leq x}y por lo tanto, la distribución deDnorte{\displaystyle D_{n}}depende de la distribución nulaF{\displaystyle F}, es decir, ya no es libre de distribución como en el caso continuo. Por lo tanto, se ha desarrollado un método rápido y preciso para calcular la distribución exacta y asintótica deDnorte{\displaystyle D_{n}}cuandoF{\displaystyle F}es puramente discreta o mixta, [ 9 ] implementada en C++ y en el paquete KSgeneral [ 10 ] del lenguaje R . Las funciones disc_ks_test(), mixed_ks_test()y cont_ks_test()calculan también el estadístico de prueba KS y los valores p para distribuciones nulas puramente discretas, mixtas o continuas y tamaños de muestra arbitrarios. La prueba KS y sus valores p para distribuciones nulas discretas y tamaños de muestra pequeños también se calculan en [ 13 ] como parte del paquete dgof del lenguaje R. Los principales paquetes estadísticos, entre los que se incluyen SASPROC NPAR1WAY , [ 14 ] Stata ksmirnov[ 15 ], implementan la prueba KS bajo el supuesto de queF(incógnita){\displaystyle F(x)}es continua, lo cual es más conservador si la distribución nula en realidad no es continua (ver [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] ).

Prueba de Kolmogorov-Smirnov para dos muestras

Ilustración del estadístico de Kolmogorov-Smirnov para dos muestras. Las líneas roja y azul corresponden a funciones de distribución empíricas, y la flecha negra representa el estadístico KS para dos muestras.

La prueba de Kolmogorov-Smirnov también puede utilizarse para comprobar si dos distribuciones de probabilidad unidimensionales subyacentes difieren. En este caso, el estadístico de Kolmogorov-Smirnov es

Dnorte,metro=sorberincógnita|F1,norte(incógnita)−F2,metro(incógnita)|,{\displaystyle D_{n,m}=\sup _{x}|F_{1,n}(x)-F_{2,m}(x)|,}

dóndeF1,norte{\displaystyle F_{1,n}}yF2,metro{\displaystyle F_{2,m}}son las funciones de distribución empíricas de la primera y la segunda muestra respectivamente, ysorber{\displaystyle \sup }es la función suprema .

Para muestras grandes, la hipótesis nula se rechaza al nivelα{\displaystyle \alpha }si

Dnorte,metro>do(α)norte+metronorte⋅metro.{\displaystyle D_{n,m}>c(\alpha ){\sqrt {\frac {n+m}{n\cdot m}}}.}

Dóndenorte{\displaystyle n}ymetro{\displaystyle m}son los tamaños de la primera y segunda muestra respectivamente. El valor dedo(α){\displaystyle c({\alpha })}se da en la tabla siguiente para los niveles más comunes deα{\displaystyle \alpha }

y en general [ 19 ] por

do(α)=−ln⁡(α2)⋅12,{\displaystyle c\left(\alpha \right)={\sqrt {-\ln \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\cdot {\tfrac {1}{2}}}},}

para que la condición diga

Dnorte,metro>−ln⁡(α2)⋅norte+metro2norte⋅metro.{\displaystyle D_{n,m}>{\sqrt {-\ln \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\cdot {\frac {n+m}{2n\cdot m}}}}.}

Aquí, de nuevo, cuanto mayores sean los tamaños de muestra, más sensible será el límite mínimo: Para una proporción dada de tamaños de muestra (por ejemplometro=norte{\displaystyle m=n}), el límite mínimo se escala en el tamaño de cualquiera de las muestras según su raíz cuadrada inversa.

Cabe señalar que la prueba de dos muestras verifica si las dos muestras de datos provienen de la misma distribución. Esto no especifica cuál es esa distribución común (por ejemplo, si es normal o no). Nuevamente, se han publicado tablas de valores críticos. Una limitación de la prueba univariada de Kolmogorov-Smirnov es que no es muy potente porque está diseñada para ser sensible a todos los tipos posibles de diferencias entre dos funciones de distribución. Algunos argumentan [ 20 ] [ 21 ] que la prueba de Cucconi , propuesta originalmente para comparar simultáneamente la ubicación y la escala, puede ser mucho más potente que la prueba de Kolmogorov-Smirnov al comparar dos funciones de distribución.

Las pruebas KS de dos muestras se han aplicado en economía para detectar efectos asimétricos y para estudiar experimentos naturales. [ 22 ]

Establecer límites de confianza para la forma de una función de distribución.

Si bien la prueba de Kolmogorov-Smirnov se usa generalmente para probar si una F ( x ) dada es la distribución de probabilidad subyacente de F n ( x ), el procedimiento se puede invertir para dar límites de confianza sobre F ( x ) misma. Si se elige un valor crítico del estadístico de prueba D α tal que P( D n  > D α ) = α , entonces una banda de ancho ± D α alrededor de F n ( x ) contendrá completamente F ( x ) con probabilidad 1 − α .   

La estadística de Kolmogorov-Smirnov en más de una dimensión

Justel , Peña y Zamar (1997) propusieron una prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov multivariante no paramétrica . [ 23 ] La prueba utiliza un estadístico construido mediante la transformación de Rosenblatt, y se desarrolló un algoritmo para calcularlo en el caso bivariado. También se presenta una prueba aproximada que puede calcularse fácilmente en cualquier dimensión.

El estadístico de prueba de Kolmogorov-Smirnov debe modificarse si se va a aplicar una prueba similar a datos multivariados . Esto no es sencillo porque la diferencia máxima entre dos funciones de distribución acumulativa conjunta no es generalmente la misma que la diferencia máxima de cualquiera de las funciones de distribución complementarias. Por lo tanto, la diferencia máxima diferirá dependiendo de cuál dePr(incógnita<incógnita∧Y<y){\displaystyle \Pr(X<x\land Y<y)}oPr(incógnita<incógnita∧Y>y){\displaystyle \Pr(X<x\land Y>y)}o se utiliza cualquiera de las otras dos opciones posibles. Podría exigirse que el resultado de la prueba utilizada no dependa de la opción elegida.

Un enfoque para generalizar la estadística de Kolmogorov-Smirnov a dimensiones superiores que cumple con la preocupación anterior es comparar las funciones de distribución acumulada (FDA) de las dos muestras con todos los posibles ordenamientos y tomar el mayor del conjunto de estadísticas KS resultantes. En d dimensiones, hay 2 d  −  1 tales ordenamientos. Una de estas variaciones se debe a Peacock [ 24 ] (véase también Gosset [ 25 ] para una versión 3D) y otra a Fasano y Franceschini [ 26 ] (véase Lopes et al. para una comparación y detalles computacionales). [ 27 ] Los valores críticos para la estadística de prueba se pueden obtener mediante simulaciones, pero dependen de la estructura de dependencia en la distribución conjunta.

Implementaciones

La prueba de Kolmogorov-Smirnov está implementada en muchos programas informáticos. La mayoría de ellos implementan tanto la prueba de una muestra como la de dos muestras.

  • Mathematica tiene la prueba de Kolmogorov-Smirnov .
  • La caja de herramientas de estadística de MATLAB incluye las funciones kstest y kstest2 para las pruebas de Kolmogorov-Smirnov de una muestra y de dos muestras, respectivamente.
  • El paquete R "KSgeneral" [ 10 ] calcula las estadísticas de la prueba KS y sus valores p bajo una distribución nula arbitraria, posiblemente discreta, mixta o continua.
  • El paquete base de estadística de R implementa la prueba como ks.test {stats} en su paquete "stats".
  • SAS implementa la prueba en su procedimiento PROC NPAR1WAY.
  • En Python , el paquete SciPy implementa la prueba en la función scipy.stats.kstest. [ 28 ]
  • SYSTAT (SPSS Inc., Chicago, IL)
  • Java tiene una implementación de esta prueba proporcionada por Apache Commons . [ 29 ]
  • KNIME tiene un nodo que implementa esta prueba basándose en la implementación de Java anterior. [ 30 ]
  • Julia tiene el paquete HypothesisTests.jl con la función ExactOneSampleKSTest(x::AbstractVector{<:Real}, d::UnivariateDistribution). [ 31 ]
  • StatsDirect (StatsDirect Ltd, Manchester, Reino Unido) implementa todas las variantes comunes .
  • Stata (Stata Corporation, College Station, TX) implementa la prueba en el comando ksmirnov (prueba de igualdad de distribuciones de Kolmogorov-Smirnov). [ 32 ]
  • PSPP implementa la prueba en su KOLMOGOROV-SMIRNOV (o utilizando la función de acceso directo KS).
  • El paquete de recursos de Real Statistics para Excel ejecuta la prueba como KSCRIT y KSPROB. [ 33 ]
  • ClickHouse implementa la prueba en su función kolmogorovSmirnovTest .

Véase también

Referencias

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Lecturas adicionales

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  • Breve introducción
  • Explicación de la prueba KS
  • Implementación en JavaScript de pruebas unilaterales y bilaterales
  • Calculadora en línea con la prueba KS
  • Código C++ de código abierto para calcular la distribución de Kolmogorov y realizar la prueba KS.
  • Artículo sobre la evaluación de la distribución de Kolmogorov ; contiene una implementación en C. Este es el método utilizado en Matlab .
  • Artículo sobre el cálculo de la distribución bilateral de Kolmogorov-Smirnov ; cálculo de la función de distribución acumulada (cdf) del estadístico KS en C o Java.
  • Artículo powerlaw: Un paquete de Python para el análisis de distribuciones de cola pesada ; Jeff Alstott, Ed Bullmore, Dietmar Plenz. Entre otras cosas, también realiza la prueba de Kolmogorov-Smirnov. El código fuente y los instaladores del paquete powerlaw están disponibles en PyPi .