Cara (geometría)

En geometría sólida , una cara es una superficie plana (una región planar ) que forma parte del contorno de un objeto sólido. Por ejemplo, un cubo tiene seis caras en este sentido.

En tratamientos más modernos de la geometría de poliedros y politopos de dimensiones superiores , una "cara" se define de tal manera que puede tener cualquier dimensión. Los vértices , las aristas y las caras (bidimensionales) de un poliedro son todas caras en este sentido más general. ^{[ 1 ]}

En geometría elemental, los poliedros se definen de diversas maneras como formas definidas por sistemas de vértices (puntos), aristas (segmentos de línea) y caras (polígonos), que en muchas, pero no en todas, de estas definiciones se requieren para formar una superficie que encierre un volumen sólido; las caras son los polígonos bidimensionales de estas definiciones. ^{[ a ] ​​[ 1 ] [ 2 ]} Otros nombres para una cara poligonal incluyen lado de poliedro y tesela de plano euclidiano .

Por ejemplo, cualquiera de los seis cuadrados que delimitan un cubo es una cara del cubo. A veces, el término «cara» también se usa para referirse a las características bidimensionales de un politopo de cuatro dimensiones . En este sentido, el teseracto de cuatro dimensiones tiene 24 caras cuadradas, cada una de las cuales comparte dos de las ocho celdas cúbicas .

En geometría de dimensiones superiores, las caras de un politopo son características de todas las dimensiones. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Una cara de dimensión k a veces se denomina k -cara. Por ejemplo, las caras poligonales de un poliedro ordinario son 2-caras. La palabra "cara" se define de manera diferente en distintas áreas de las matemáticas. Por ejemplo, muchos autores, pero no todos, permiten que el propio politopo y el conjunto vacío sean caras de un politopo, donde al conjunto vacío se le da, por coherencia, una "dimensión" de −1. Para cualquier politopo n -dimensional, las caras tienen dimensión${\displaystyle k}$con${\displaystyle -1\leq k\leq n}$.

Por ejemplo, con este significado, las caras de un cubo comprenden el cubo mismo (una cara de 3), sus facetas (cuadradas) (caras de 2), sus aristas (segmentos de línea) (caras de 1), sus vértices (puntos) (caras de 0) y el conjunto vacío.

En algunas áreas de las matemáticas, como la combinatoria poliédrica , un politopo es por definición convexo . En este contexto, existe una definición precisa: una cara de un politopo P en el espacio euclidiano.${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$es la intersección de P con cualquier semiplano cerrado cuyo límite es disjunto del interior relativo de P. [ ^{5 ] Según} esta definición, el conjunto de caras de un politopo incluye el propio politopo y el conjunto vacío. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Para politopos convexos, esta definición es equivalente a la definición general de una cara de un conjunto convexo, que se da a continuación .

En otras áreas de las matemáticas, como las teorías de politopos abstractos y politopos estrellados , el requisito de convexidad se relaja. Un concepto combinatorio preciso que generaliza algunos tipos anteriores de poliedros es la noción de complejo simplicial . De forma más general, existe la noción de complejo politópico .

Un símplex n -dimensional (segmento de línea ( n = 1 ), triángulo ( n = 2 ), tetraedro ( n = 3 ), etc.), definido por n + 1 vértices, tiene una cara para cada subconjunto de vértices, desde el conjunto vacío hasta el conjunto de todos los vértices. En particular, hay 2n ^{+ 1} caras en total. El número de k -caras, para k ∈ {−1, 0, ..., n } , es el coeficiente binomial ^.${\displaystyle {\binom {n+1}{k+1}}}$.

Las k -caras reciben nombres específicos dependiendo del valor de k y, en algunos casos, de la proximidad de k a la dimensión n del politopo.

La noción de cara se puede generalizar de politopos convexos a todos los conjuntos convexos , como sigue. Sea${\displaystyle C}$sea ​​un conjunto convexo en un espacio vectorial real${\displaystyle V}$. Un rostro de${\displaystyle C}$es un subconjunto convexo${\displaystyle F\subsetequ C}$de tal manera que siempre que un punto${\displaystyle p\in F}$se encuentra estrictamente entre dos puntos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$en${\displaystyle C}$, ambos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$debe estar en${\displaystyle F}$. De forma equivalente, para cualquier${\displaystyle x,y\in C}$y cualquier número real${\displaystyle 0<\theta <1}$de tal manera que${\displaystyle \theta x+(1-\theta )y}$está en${\displaystyle F}$,${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$debe estar en${\displaystyle F}$. ^{[ 8 ]}

Según esta definición,${\displaystyle C}$sí mismo y el conjunto vacío son caras de${\displaystyle C}$; a veces se les llama las caras triviales de${\displaystyle C}$.

Un punto extremo de${\displaystyle C}$es un punto${\displaystyle p\in C}$de tal manera que${\displaystyle \{p\}}$es un rostro de${\displaystyle C}$. ^{[ 8 ]} Es decir, si${\displaystyle p}$se encuentra entre dos puntos${\displaystyle x,y\in C}$, entonces${\displaystyle x=y=p}$.

Por ejemplo:

• Un triángulo en el plano (incluida la región interior) es un conjunto convexo. Sus caras no triviales son los tres vértices y las tres aristas. (Por lo tanto, los únicos puntos extremos son los tres vértices).
• Las únicas caras no triviales del disco de unidad cerrada${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}\leq 1\}}$son sus puntos extremos, es decir, los puntos en el círculo unitario.${\displaystyle S^{1}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\}}$.

Dejar${\displaystyle C}$sea ​​un conjunto convexo en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$que sea compacto (o equivalentemente, cerrado y acotado ). Entonces${\displaystyle C}$es la envoltura convexa de sus puntos extremos. ^{[ 9 ]} De manera más general, cada conjunto convexo compacto en un espacio vectorial topológico localmente convexo es la envoltura convexa cerrada de sus puntos extremos (el teorema de Krein-Milman ).

Un rostro expuesto de${\displaystyle C}$es el subconjunto de puntos de${\displaystyle C}$donde un funcional lineal alcanza su mínimo en${\displaystyle C}$. Por lo tanto, si${\displaystyle f}$es un funcional lineal en${\displaystyle V}$y${\displaystyle \alpha =\inf\{f(c)\ \colon c\in C\}>-\infty }$, entonces${\displaystyle \{c\in C\ \colon f(c)=\alpha \}}$es una cara expuesta de${\displaystyle C}$.

Un punto expuesto de${\displaystyle C}$es un punto ${\displaystyle p\in C}$de tal manera que${\displaystyle \{p\}}$es una cara expuesta de${\displaystyle C}$. Eso es,${\displaystyle f(p)>f(c)}$a pesar de${\displaystyle c\in C\setminus \{p\}}$Consulte la figura para ver ejemplos de puntos extremos que no están expuestos.

• Rejilla de caras
• Combinatoria poliédrica
• Geometría discreta

• Grünbaum, Branko (2003), Politopos convexos , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  221 (2.ª  ed.), Springer, ISBN 0-387-00424-6, MR 1976856 
• Matoušek, Jiří (2002), Conferencias de geometría discreta , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  212, Springer, ISBN 9780387953748, MR 1899299 
• Rockafellar, RT (1997) [1970]. Análisis convexo . Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 1-4008-7317-7. MR 0274683 . 
• Ziegler, Günter M. (1995), Lecciones sobre politopos , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  152, Springer, ISBN 9780387943657, MR 1311028 

• Weisstein, Eric W. "Cara" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Faceta" . MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Lado" . MathWorld .