Función K

En matemáticas , la función K , normalmente denotada como K ( z ), es una generalización del hiperfactorial a números complejos , similar a la generalización del factorial a la función gamma .

Formalmente, la función K se define como

${\displaystyle K(z)=(2\pi )^{-{\frac {z-1}{2}}}\exp \left[{\binom {z}{2}}+\int _{0 }^{z-1}\ln \Gamma (t+1)\,dt\right].}$

También se puede dar en forma cerrada como

${\displaystyle K(z)=\exp {\bigl [}\zeta '(-1,z)-\zeta '(-1){\bigr ]}}$

donde ζ ′( z ) denota la derivada de la función zeta de Riemann , ζ ( a , z ) denota la función zeta de Hurwitz y

${\displaystyle \zeta '(a,z)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left.{\frac {\partial \zeta (s,z)}{\partial s}}\right|_{s=a},\ \ \zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+q)^{-s}}$

Otra expresión que utiliza la función poligamma es ^[1]

${\displaystyle K(z)=\exp \left[\psi ^{(-2)}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{ 2}}\ln 2\pi \right]}$

O utilizando la generalización equilibrada de la función poligamma : ^[2]

${\displaystyle K(z)=A\exp \left[\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}\right]}$

donde A es la constante de Glaisher .

Similar al teorema de Bohr-Mollerup para la función gamma , la función log K es la única (hasta una constante aditiva) eventualmente 2-convexa solución para la ecuación donde es el operador de diferencia hacia adelante. ^[3]${\displaystyle \Delta f(x)=x\ln(x)}$${\estilo de visualización \Delta}$

Se puede demostrar que para α > 0 :

${\displaystyle \int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln K(x)\,dx-\int _{0}^{1}\ln K(x)\,dx={\tfrac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(\ln \alpha -{\tfrac {1}{2}}\right)}$

Esto se puede demostrar definiendo una función f tal que:

${\displaystyle f(\alpha )=\int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln K(x)\,dx}$

Diferenciando ahora esta identidad con respecto a α obtenemos:

${\displaystyle f'(\alpha )=\ln K(\alpha +1)-\ln K(\alpha )}$

Aplicando la regla del logaritmo obtenemos

${\displaystyle f'(\alpha )=\ln {\frac {K(\alpha +1)}{K(\alpha )}}}$

Por la definición de la función K escribimos

${\displaystyle f'(\alpha )=\alpha \ln \alpha }$

Y entonces

${\displaystyle f(\alpha )={\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(\ln \alpha -{\frac {1}{2}}\right)+C}$

Estableciendo α = 0 tenemos

${\displaystyle \int _{0}^{1}\ln K(x)\,dx=\lim _{t\rightarrow 0}\left[{\tfrac {1}{2}}t^{2}\left(\ln t-{\tfrac {1}{2}}\right)\right]+C\ =C}$

Ahora se puede deducir la identidad anterior.

La función K está estrechamente relacionada con la función gamma y la función G de Barnes ; para números naturales n , tenemos

${\displaystyle K(n)={\frac {{\bigl (}\Gamma (n){\bigr )}^{n-1}}{G(n)}}.}$

De manera más prosaica, se podría escribir:

${\displaystyle K(n+1)=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdots n^{n}.}$

Los primeros valores son

1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, ... (secuencia A002109 en la OEIS ).

Similar a la fórmula de multiplicación para la función gamma :

${\displaystyle \prod _{j=1}^{n-1}\Gamma \left({\frac {j}{n}}\right)=(2\pi )^{\frac {n-1}{2}}n^{-{\frac {n}{2}}}}$

Existe una fórmula de multiplicación para la función K que involucra la constante de Glaisher : ^[4]

${\displaystyle \prod _{j=1}^{n-1}K\left({\frac {j}{n}}\right)=A^{\frac {n^{2}-1}{n}}n^{-{\frac {1}{12n}}}e^{\frac {1-n^{2}}{12n}}}$

• Weisstein, Eric W. "Función K". MathWorld .