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Teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser

El teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser ( KAM ) es un resultado en sistemas dinámicos sobre la persistencia de movimientos cuasiperiódicos bajo pequeñas perturbaciones. El teorema...

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El teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser ( KAM ) es un resultado en sistemas dinámicos sobre la persistencia de movimientos cuasiperiódicos bajo pequeñas perturbaciones. El teorema resuelve parcialmente el problema del divisor pequeño que surge en la teoría de perturbaciones de la mecánica clásica .

El problema radica en determinar si una pequeña perturbación de un sistema dinámico conservativo da como resultado una órbita cuasiperiódica duradera . El avance original a este problema fue dado por Andrey Kolmogorov en 1954. [ 1 ] Esto fue demostrado y extendido rigurosamente por Jürgen Moser en 1962 [ 2 ] (para mapas de torsión suaves ) y Vladimir Arnold en 1963 [ 3 ] (para sistemas hamiltonianos analíticos ), y el resultado general se conoce como el teorema KAM.

Arnold pensó inicialmente que este teorema podría aplicarse a los movimientos del Sistema Solar u otros casos del problema de n cuerpos , pero resultó que solo funcionaba para el problema de tres cuerpos debido a una degeneración en su formulación del problema para un mayor número de cuerpos. Posteriormente, Gabriella Pinzari demostró cómo eliminar esta degeneración desarrollando una versión del teorema invariante bajo rotación. [ 4 ]

Declaración

Sistemas hamiltonianos integrables

El teorema KAM se suele expresar en términos de trayectorias en el espacio de fases de un sistema hamiltoniano integrable . El movimiento de un sistema integrable se limita a un toro invariante (una superficie con forma de rosquilla ). Diferentes condiciones iniciales del sistema hamiltoniano integrable trazarán diferentes toros invariantes en el espacio de fases. Al representar gráficamente las coordenadas de un sistema integrable, se observa que son cuasiperiódicas.

Perturbaciones

El teorema KAM establece que si el sistema se somete a una perturbación no lineal débil, algunos de los toros invariantes se deforman y sobreviven; es decir, existe una aplicación continua de la variedad original a la deformada en la perturbación. Por el contrario, otros toros invariantes se destruyen: incluso perturbaciones arbitrariamente pequeñas hacen que la variedad deje de ser invariante y no existe tal aplicación a variedades cercanas. Los toros que sobreviven cumplen la condición de no resonancia, es decir, tienen frecuencias suficientemente irracionales. Esto implica que el movimiento en el toro deformado continúa siendo cuasiperiódico , con los periodos independientes modificados (como consecuencia de la condición de no degeneración). El teorema KAM cuantifica el nivel de perturbación que se puede aplicar para que esto sea cierto.

Esos toros KAM que son destruidos por perturbación se convierten en conjuntos de Cantor invariantes , llamados Cantori por Ian C. Percival en 1979. [ 5 ]

Las condiciones de no resonancia y no degeneración del teorema KAM se vuelven cada vez más difíciles de satisfacer para sistemas con más grados de libertad. A medida que aumenta el número de dimensiones del sistema, disminuye el volumen ocupado por los toros.

A medida que aumenta la perturbación y las curvas suaves se desintegran, pasamos de la teoría KAM a la teoría de Aubry-Mather, que requiere hipótesis menos estrictas y trabaja con conjuntos tipo Cantor.

La existencia de un teorema KAM para perturbaciones de sistemas cuánticos integrables de muchos cuerpos sigue siendo una cuestión abierta, aunque se cree que perturbaciones arbitrariamente pequeñas destruirán la integrabilidad en el límite de tamaño infinito.

Consecuencias

Una consecuencia importante del teorema KAM es que, para un amplio conjunto de condiciones iniciales, el movimiento permanece perpetuamente cuasiperiódico.

teoría KAM

Los métodos introducidos por Kolmogorov, Arnold y Moser han dado lugar a un amplio conjunto de resultados relacionados con los movimientos cuasiperiódicos, ahora conocidos como teoría KAM . Cabe destacar que se ha extendido a sistemas no hamiltonianos (a partir de Moser), a situaciones no perturbativas (como en el trabajo de Michael Herman ) y a sistemas con frecuencias rápidas y lentas (como en el trabajo de Mikhail B. Sevryuk).

toroide KAM

Un colectorTd{\displaystyle {\mathcal {T}}^{d}}invariante bajo la acción de un flujoϕt{\displaystyle \phi ^{t}}se denomina invarianted{\displaystyle d}-toro, si existe un difeomorfismoφ:Td→Td{\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}:{\mathcal {T}}^{d}\rightarrow \mathbb {T} ^{d}} en el estándard{\displaystyle d}-toroTd:=S1×S1×⋯×S1⏟d{\displaystyle \mathbb {T} ^{d}:=\underbrace {\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}\times \cdots \times \mathbb {S} ^{1}} _{d}} de tal manera que el movimiento resultante enTd{\displaystyle \mathbb {T} ^{d}}es uniformemente lineal pero no estático, es decirdφ/dt=ω{\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\varphi }}/\mathrm {d} t={\boldsymbol {\omega }}},dóndeω∈Rd{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\in \mathbb {R} ^{d}}es un vector constante distinto de cero, llamado vector de frecuencia .

Si el vector de frecuenciaω{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}es:

  • racionalmente independiente ( también conocido como inconmensurable, es decir)k⋅ω≠0${\displaystyle {\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\neq 0}$a pesar dek∈Zd∖{0}{\displaystyle {\boldsymbol {k}}\in \mathbb {Z} ^{d}\backslash \left\{{\boldsymbol {0}}\right\}})
  • y mal aproximados por los racionales, típicamente en un sentido diofántico :
∃ γ,τ>0 de tal manera que |ω⋅k|≥γ‖k‖τ,∀ k∈Zd∖{0},{\displaystyle \exists ~\gamma ,\tau >0{\text{ tal que }}|{\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {k}}|\geq {\frac {\gamma }{\|{\boldsymbol {k}}\|^{\tau }}},\forall ~{\boldsymbol {k}}\in \mathbb {Z} ^{d}\backslash \left\{{\boldsymbol {0}}\right\},}

entonces el invarianted{\displaystyle d}-toroTd{\displaystyle {\mathcal {T}}^{d}}(d≥2{\displaystyle d\geq 2}) se denomina toro KAM .d=1{\displaystyle d=1}Este caso normalmente se excluye en la teoría KAM clásica porque no involucra divisores pequeños.

Véase también

Notas

  1. ^ AN Kolmogorov, "Sobre la conservación de movimientos condicionalmente periódicos bajo pequeñas perturbaciones del hamiltoniano [О сохранении условнопериодических движений при малом изменении функции Гамильтона]", Dokl. Akád. Nauk RSS 98 (1954).
  2. ↑ J. Moser, "Sobre curvas invariantes de aplicaciones que preservan el área de un anillo," Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. II 1962 (1962), 1–20.
  3. ↑ VI Arnold, "Demostración de un teorema de AN Kolmogorov sobre la preservación de movimientos condicionalmente periódicos bajo una pequeña perturbación del hamiltoniano [Малые знаменатели и проблема устойчивости движения в классической и небесной механике]", Uspekhi Mat. Nauk 18 (1963) (trad. al inglés: Russ. Math. Surv. 18 , 9--36, doi:10.1070/RM1963v018n05ABEH004130 ).
  4. ↑ Khesin, Boris (24 de octubre de 2011), Colliander, James (ed.), "Adenda al Taller en Memoria de Arnold: Khesin sobre la charla de Pinzari" , Blog de James Colliander , archivado del original el 29 de marzo de 2017 , consultado el 29 de marzo de 2017.
  5. ↑ Percival, IC (1979-03-01). "Un principio variacional para toros invariantes de frecuencia fija". Journal of Physics A: Mathematical and General . 12 (3): L57– L60. Bibcode : 1979JPhA...12L..57P . doi : 10.1088/0305-4470/12/3/001 .

Referencias

  • Arnold, Weinstein, Vogtmann. Métodos matemáticos de la mecánica clásica , 2.ª ed., Apéndice 8: Teoría de las perturbaciones del movimiento condicionalmente periódico y teorema de Kolmogorov. Springer, 1997.
  • Sevryuk, MB. Traducción del artículo de VI Arnold «De las superposiciones a la teoría KAM» (Vladimir Igorevich Arnold. Selección — 60, Moscú: PHASIS, 1997, pp. 727–740). Regul. Chaot. Dyn. 19, 734–744 (2014) . https://doi.org/10.1134/S1560354714060100
  • Wayne, C. Eugene (enero de 2008). "Una introducción a la teoría KAM" (PDF) . Preimpresión : 29. Recuperado el 20 de junio de 2012 .
  • Jürgen Pöschel (2001). «Una conferencia sobre el teorema clásico KAM» (PDF) . Actas de simposios de matemáticas puras . 69 : 707–732 . CiteSeerX 10.1.1.248.8987 . doi : 10.1090/pspum/069/1858551 . ISBN  9780821826829. Archivado del original (PDF) el 3 de marzo de 2016. Consultado el 6 de junio de 2006 .
  • Rafael de la Llave (2001) Un tutorial sobre la teoría KAM .
  • Weisstein, Eric W. "Teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser" . MathWorld .
  • Teoría KAM: el legado del artículo de Kolmogorov de 1954
  • Teoría de Kolmogorov-Arnold-Moser de Scholarpedia
  • H. Scott Dumas. La historia de KAM: una introducción amena al contenido, la historia y la importancia de la teoría clásica de Kolmogorov-Arnold-Moser , 2014, World Scientific Publishing, ISBN 978-981-4556-58-3Capítulo 1: Introducción
  • I. Fascitiello, Por la unidad de las matemáticas. La contribución fundamental de Andrei N. Kolmogorov en 1954 a la teoría de los sistemas dinámicos , 2025, Mathémata, Roma TrE-press, ISBN 979-12-5977-512-2.