Teoría KR

En matemáticas, la teoría KR es una variante de la teoría K topológica definida para espacios con una involución . Fue introducida por Atiyah (1966), motivado por aplicaciones del teorema del índice de Atiyah-Singer para operadores elípticos reales .

Un espacio real se define como un espacio topológico con una involución. Un fibrado vectorial real sobre un espacio real X se define como un fibrado vectorial complejo E sobre X que también es un espacio real, de modo que las funciones naturales de E a X y de × E a E conmutan con la involución, donde la involución actúa como conjugación compleja en . (Esto difiere de la noción de fibrado vectorial complejo en la categoría de espacios Z /2 Z , donde la involución actúa trivialmente sobre .) ${\displaystyle \mathbb {C}}$${\displaystyle \mathbb {C}}$${\displaystyle \mathbb {C}}$

El grupo KR ( X ) es el grupo de Grothendieck de fibrados vectoriales reales de dimensión finita sobre el espacio real X .

De manera similar a la periodicidad de Bott , el teorema de periodicidad para KR establece que KR ^{p , q} = KR ^{p +1, q +1} , donde KR ^{p , q} es suspensión con respecto a R ^{p , q} = R ^q + i R ^p (con un cambio en el orden de p y q ), dado por

${\displaystyle KR^{p,q}(X,Y)=KR(X\times B^{p,q},X\times S^{p,q}\cup Y\times B^{p,q})}$

y B ^{p , q} , S ^{p , q} son la bola y la esfera unitarias en R ^{p , q} .

• Atiyah, Michael Francis (1966), "K-theory and reality", The Quarterly Journal of Mathematics , Segunda serie, 17 (1): 367–386, doi :10.1093/qmath/17.1.367, ISSN  0033-5606, MR  0206940, archivado desde el original el 15 de abril de 2013