Leyes de circuitos de Kirchhoff

Las leyes de Kirchhoff son dos igualdades que describen la corriente y la diferencia de potencial (comúnmente conocida como voltaje) en el modelo de elementos concentrados de los circuitos eléctricos . Fueron descritas por primera vez en 1845 por el físico alemán Gustav Kirchhoff . ^{[ 1 ]} Esto generalizó el trabajo de Georg Ohm y precedió al de James Clerk Maxwell . Ampliamente utilizadas en ingeniería eléctrica , también se las conoce como reglas de Kirchhoff o simplemente leyes de Kirchhoff . Estas leyes se pueden aplicar en los dominios del tiempo y la frecuencia y constituyen la base del análisis de redes .

Ambas leyes de Kirchhoff pueden entenderse como corolarios de las ecuaciones de Maxwell en el límite de baja frecuencia. Son precisas para circuitos de corriente continua y para circuitos de corriente alterna a frecuencias donde las longitudes de onda de la radiación electromagnética son muy grandes en comparación con los circuitos.

Ley actual de Kirchhoff

Esta ley, también llamada primera ley de Kirchhoff o regla de unión de Kirchhoff , establece que, para cualquier nodo (unión) en un circuito eléctrico , la suma de las corrientes que fluyen hacia ese nodo es igual a la suma de las corrientes que fluyen hacia afuera de ese nodo; o equivalentemente:

La suma algebraica de las corrientes en una red de conductores que confluyen en un punto es cero.

Recordando que la corriente es una magnitud con signo (positiva o negativa) que refleja la dirección hacia o desde un nodo, este principio se puede enunciar sucintamente de la siguiente manera: $\sum _{i=1}^{n}I_{i}=0$ donde $n$ es el número total de ramas con corrientes que fluyen hacia el nodo o se alejan de él.

Las leyes de Kirchhoff sobre circuitos se obtuvieron originalmente a partir de resultados experimentales. Sin embargo, la ley de corrientes puede considerarse una extensión de la conservación de la carga , ya que la carga es el producto de la corriente y el tiempo que esta ha estado fluyendo. Si la carga neta en una región es constante, la ley de corrientes se cumple en los límites de dicha región. ^{[ 2 ]} Esto significa que la ley de corrientes se basa en el hecho de que la carga neta en los cables y componentes es constante.

Usos

Una versión matricial de la ley de corrientes de Kirchhoff es la base de la mayoría de los programas de simulación de circuitos , como SPICE . La ley de corrientes se utiliza junto con la ley de Ohm para realizar análisis nodales .

La legislación vigente es aplicable a cualquier red agrupada, independientemente de la naturaleza de la red; ya sea unilateral o bilateral, activa o pasiva.

Ley de voltajes de Kirchhoff

Esta ley, también llamada segunda ley de Kirchhoff o regla de los bucles de Kirchhoff , establece lo siguiente:

La suma dirigida de las diferencias de potencial (voltajes) alrededor de cualquier circuito cerrado es cero.

De forma similar a la ley de corrientes de Kirchhoff, la ley de voltajes se puede enunciar como: $\sum _{i=1}^{n}V_{i}=0$

Aquí, $n$ es el número total de voltajes medidos.

Derivación de la ley de voltajes de Kirchhoff

(Una derivación similar se puede encontrar en las conferencias de Feynman.) ^{[ 2 ]}

Consideremos un circuito arbitrario. Aproximemos el circuito con elementos concentrados, de modo que los campos magnéticos variables en el tiempo estén contenidos en cada componente y el campo en la región exterior al circuito sea despreciable. Basándonos en esta suposición, la ecuación de Maxwell-Faraday revela que $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\mathbf {0}$ en la región exterior. Si cada uno de los componentes tiene un volumen finito, entonces la región exterior es simplemente conexa y, por lo tanto, el campo eléctrico es conservativo en esa región. Por consiguiente, para cualquier malla en el circuito, encontramos que $\sum _{i}V_{i}=-\sum _{i}\int _{{\mathcal {P}}_{i}}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\oint \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =0$ dónde ${\textstyle {\mathcal {P}}_{i}}$ son rutas que rodean el exterior de cada uno de los componentes, desde un terminal a otro.

Tenga en cuenta que esta derivación utiliza la siguiente definición para el aumento de voltaje desde $a$ a $b$ : $V_{a\to b}=-\int _{{\mathcal {P}}_{a\to b}}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l}$

Sin embargo, el potencial eléctrico (y por lo tanto el voltaje) se puede definir de otras maneras, como a través de la descomposición de Helmholtz .

Generalización

En el límite de baja frecuencia, la caída de tensión alrededor de cualquier bucle es cero. Esto incluye bucles imaginarios dispuestos arbitrariamente en el espacio, sin limitarse a los bucles delimitados por los elementos del circuito y los conductores. En el límite de baja frecuencia, esto es un corolario de la ley de inducción de Faraday (que es una de las ecuaciones de Maxwell ).

Esto tiene una aplicación práctica en situaciones que involucran " electricidad estática ".

Limitaciones

Las leyes de Kirchhoff para circuitos son el resultado del modelo de elementos concentrados y ambas dependen de que dicho modelo sea aplicable al circuito en cuestión. Cuando el modelo no es aplicable, las leyes no se aplican.

La ley actual se basa en la suposición de que la carga neta en cualquier cable, unión o componente concentrado es constante. Cuando el campo eléctrico entre partes del circuito no es despreciable, como cuando dos cables están acoplados capacitivamente , esto puede no ser así. Esto ocurre en circuitos de CA de alta frecuencia, donde el modelo de elementos concentrados ya no es aplicable. ^{[ 3 ]} Por ejemplo, en una línea de transmisión , la densidad de carga en el conductor puede estar cambiando constantemente.

En una línea de transmisión, la carga neta en diferentes partes del conductor cambia con el tiempo. En el sentido físico directo, esto viola la ley de Kirchhoff de las corrientes (LKC).

Por otro lado, la ley de voltajes se basa en el hecho de que la acción de los campos magnéticos variables en el tiempo se limita a componentes individuales, como los inductores. En realidad, el campo eléctrico inducido por un inductor no está confinado, pero los campos que se dispersan suelen ser despreciables.

Modelado de circuitos reales con elementos concentrados.

La aproximación de elementos concentrados para un circuito es precisa a bajas frecuencias. A frecuencias más altas, los flujos dispersos y las densidades de carga variables en los conductores se vuelven significativos. Hasta cierto punto, aún es posible modelar dichos circuitos utilizando componentes parásitos . Si las frecuencias son demasiado altas, puede ser más apropiado simular los campos directamente mediante modelado de elementos finitos u otras técnicas .

Para modelar circuitos de manera que ambas leyes puedan seguir utilizándose, es importante comprender la distinción entre los elementos físicos del circuito y los elementos concentrados ideales . Por ejemplo, un cable no es un conductor ideal. A diferencia de un conductor ideal, los cables pueden acoplarse inductiva y capacitivamente entre sí (y consigo mismos), y tienen un retardo de propagación finito . Los conductores reales pueden modelarse en términos de elementos concentrados considerando capacitancias parásitas distribuidas entre los conductores para modelar el acoplamiento capacitivo, o inductancias parásitas (mutuas) para modelar el acoplamiento inductivo. ^{[ 3 ]} Los cables también tienen cierta autoinductancia.

Ejemplo

Supongamos una red eléctrica compuesta por dos fuentes de voltaje y tres resistencias.

Según la primera ley: $i_{1}-i_{2}-i_{3}=0$ Aplicando la segunda ley al circuito cerrado $s 1$ y sustituyendo el voltaje mediante la ley de Ohm se obtiene: $-R_{2}i_{2}+{\mathcal {E}}_{1}-R_{1}i_{1}=0$ La segunda ley, combinada nuevamente con la ley de Ohm, aplicada al circuito cerrado $s 2$ da como resultado: $-R_{3}i_{3}-{\mathcal {E}}_{2}-{\mathcal {E}}_{1}+R_{2}i_{2}=0$

Esto produce un sistema de ecuaciones lineales en $i 1$ , $i 2$ , $i 3$ : ${\begin{cases}i_{1}-i_{2}-i_{3}&=0\\-R_{2}i_{2}+{\mathcal {E}}_{1}-R_{1}i_{1}&=0\\-R_{3}i_{3}-{\mathcal {E}}_{2}-{\mathcal {E}}_{1}+R_{2}i_{2}&=0\end{cases}}$ lo cual es equivalente a ${\begin{cases}i_{1}+(-i_{2})+(-i_{3})&=0\\R_{1}i_{1}+R_{2}i_{2}+0i_{3}&={\mathcal {E}}_{1}\\0i_{1}+R_{2}i_{2}-R_{3}i_{3}&={\mathcal {E}}_{1}+{\mathcal {E}}_{2}\end{cases}}$ Arrogante ${\begin{aligned}R_{1}&=100\Omega ,&R_{2}&=200\Omega ,&R_{3}&=300\Omega ,\\{\mathcal {E}}_{1}&=3{\text{V}},&{\mathcal {E}}_{2}&=4{\text{V}}\end{aligned}}$ La solución es ${\begin{cases}i_{1}={\frac {1}{1100}}{\text{A}}\\[6pt]i_{2}={\frac {4}{275}}{\text{A}}\\[6pt]i_{3}=-{\frac {3}{220}}{\text{A}}\end{cases}}$

La corriente $i 3$ tiene signo negativo, lo que significa que la dirección supuesta de $i 3$ era incorrecta y que $i 3$ fluye en la dirección opuesta a la flecha roja etiquetada como $i 3.$ La corriente en $R 3$ fluye de izquierda a derecha.

Véase también

Notas a pie de página

↑ Oldham, Kalil T. Swain (2008). La doctrina de la descripción: Gustav Kirchhoff, la física clásica y el "propósito de toda ciencia" en la Alemania del siglo XIX (Tesis doctoral). Universidad de California, Berkeley. pág. 52. Expediente 3331743.
1 2 Feynman, Richard; Leighton, Robert; Sands, Matthew (septiembre de 2013) [1964]. "Cap. 22: Circuitos de CA" . Las Lecciones de Física de Feynman . Las Lecciones de Física de Feynman . Vol. II (ed. en línea de 2013 ). Instituto Tecnológico de California . 22–3: Redes de elementos ideales; reglas de Kirchhoff . Recuperado el 6 de diciembre de 2018 .
1 2 Morrison, Ralph (1986). Técnicas de puesta a tierra y blindaje en instrumentación . Wiley-Interscience. ISBN 0471838055.

Referencias

Graham, Howard; Johnson, Martin (2002). Propagación de señales de alta velocidad: magia negra avanzada . Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall PTR. ISBN 0-13-084408-X.
Paul, Clayton R. (2001). Fundamentos del análisis de circuitos eléctricos . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-37195-5.
Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Física para científicos e ingenieros (6.ª ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.
Tipler, Paul (2004). Física para científicos e ingenieros: electricidad, magnetismo, luz y física moderna elemental (5.ª ed.). WH Freeman. ISBN 0-7167-0810-8.

Enlaces externos

Capítulo sobre circuitos divisores y leyes de Kirchhoff del libro electrónico gratuito " Lecciones de circuitos eléctricos, vol. 1, CC" yla serie " Lecciones de circuitos eléctricos".

[1] Oldham, Kalil T. Swain (2008). La doctrina de la descripción: Gustav Kirchhoff, la física clásica y el "propósito de toda ciencia" en la Alemania del siglo XIX (Tesis doctoral). Universidad de California, Berkeley. pág. 52. Expediente 3331743.

[FLP-VII-Ch22-2] 1 2 Feynman, Richard; Leighton, Robert; Sands, Matthew (septiembre de 2013) [1964]. "Cap. 22: Circuitos de CA" . Las Lecciones de Física de Feynman . Las Lecciones de Física de Feynman . Vol. II (ed. en línea de 2013 ). Instituto Tecnológico de California . 22–3: Redes de elementos ideales; reglas de Kirchhoff . Recuperado el 6 de diciembre de 2018 .

[Morrison1986-3] 1 2 Morrison, Ralph (1986). Técnicas de puesta a tierra y blindaje en instrumentación . Wiley-Interscience. ISBN 0471838055.

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