Anillo Kac

En mecánica estadística , el anillo de Kac es un modelo de juguete ^{[ 1 ]} introducido por Mark Kac en 1956 ^{[ 2 ] [ 3 ]} para explicar cómo surge la segunda ley de la termodinámica a partir de interacciones simétricas en el tiempo entre moléculas (véase la paradoja de la reversibilidad ). Aunque artificial, ^{[ 4 ]} el modelo es notable como un ejemplo matemáticamente transparente de grano grueso ^{[ 5 ]} y se utiliza como herramienta didáctica ^{[ 6 ]} en termodinámica del no equilibrio .

El anillo de Kac consta de N puntos equidistantes en un círculo. Algunos de estos puntos están marcados . El número de puntos marcados es M , donde ${\displaystyle 0<2M<N}$Cada punto representa una casilla ocupada por una bola, que puede ser negra o blanca . Tras un intervalo de tiempo, cada bola se mueve a un punto vecino en sentido contrario a las agujas del reloj. Cuando una bola abandona una casilla marcada, cambia de color (de negro a blanco) y viceversa. (Si el punto de partida no está marcado, la bola completa su movimiento sin cambiar de color).

Un observador imaginario solo puede medir cantidades de grano grueso (o macroscópicas ): la relación

${\displaystyle \mu ={\frac {M}{N}}<0.5}$

y el color general

${\displaystyle \delta ={\frac {WB}{N}},}$

donde B y W denotan el número total de bolas negras y blancas, respectivamente. Sin conocer la configuración detallada ( microscópica ), cualquier distribución de M marcas se considera igualmente probable. Esta suposición de equiprobabilidad es comparable al Stosszahlansatz , que conduce a la ecuación de Boltzmann . ^{[ 7 ]}

Dejar${\displaystyle \eta _{k}(t)}$denotamos el color de una bola en el punto k y el tiempo t con una convención

${\displaystyle \eta _{k}={\begin{cases}+1&{\text{la bola es blanca}}\\-1&{\text{la bola es negra}}\end{cases}}.}$

La dinámica microscópica puede formularse matemáticamente como

${\displaystyle \eta _{k}(t)=\epsilon _{k-1}\eta _{k-1}(t-1),}$

dónde

${\displaystyle \epsilon _{k}={\begin{cases}+1&{\text{sitio no marcado}}\\-1&{\text{sitio marcado}}\end{cases}}}$

y${\displaystyle k-1}$se toma módulo N. En analogía con el movimiento molecular, el sistema es reversible en el tiempo. De hecho, si las bolas se movieran en el sentido de las agujas del reloj (en lugar de en sentido contrario) y los puntos marcados cambiaran de color al entrar en ellos (en lugar de salir), el movimiento sería equivalente, excepto que iría hacia atrás en el tiempo. Además, la evolución de${\displaystyle \eta _{k}(t)}$es periódica , donde el período es como máximo${\displaystyle 2N}$. (Después de N pasos, cada bola visita todos los M puntos marcados y cambia de color por un factor${\displaystyle (-1)^{M}}$.) La periodicidad del anillo de Kac es una manifestación de la recurrencia de Poincaré más general . ^{[ 6 ]}

Suponiendo que todas las bolas son inicialmente blancas,

${\displaystyle \eta _{k}(t)=\epsilon _{k-1}\epsilon _{k-2}\cdots \epsilon _{kt}=(-1)^{X},}$

dónde${\displaystyle X=X(k,t)}$es el número de veces que la bola abandonará un punto marcado durante su recorrido. Cuando se desconocen las ubicaciones marcadas (y todas las posibilidades son igualmente probables), X se convierte en una variable aleatoria . Considerando el límite cuando N tiende a infinito pero t , i y μ permanecen constantes, la variable aleatoria X converge a la distribución binomial , es decir: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\text{Pr}}(X=i)=\mu ^{i}(1-\mu )^{ti}{\begin{pmatrix}t\\i\end{pmatrix}},}$

Por lo tanto, el color general después de t pasos será

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{N\to \infty }\langle \delta (t)\rangle &=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{k}\langle \eta _{k}(t)\rangle \\&=\lim _{N\to \infty }\langle \eta _{1}(t)\rangle \\&=\sum _{i=0}^{t}(-1)^{i}\mu ^{i}(1-\mu )^{ti}{\begin{pmatrix}t\\i\end{pmatrix}}\\&=(1-2\mu )^{t}\end{aligned}}.}$

Desde${\displaystyle 0<1-2\mu <1}$El color general convergerá, en promedio, de forma monótona y exponencial hacia un 50 % de gris (un estado análogo al equilibrio termodinámico ). Se obtiene un resultado idéntico para un anillo que gira en sentido horario. Por consiguiente, la evolución a gran escala del anillo de Kac es irreversible.

También es posible demostrar que la varianza se aproxima a cero: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\text{Var}}(\delta (t))=0.}$

Por lo tanto, cuando N es enorme (del orden de ^10²³ ) , el observador tiene que ser extremadamente afortunado (o paciente) para detectar cualquier desviación significativa del comportamiento promedio del conjunto.

• Modelo Ehrenfest