Distribución gamma de Kaniadakis

La distribución gamma generalizada de Kaniadakis (o distribución gamma generalizada κ ) es una familia de cuatro parámetros de distribuciones estadísticas continuas , con soporte en un intervalo semiinfinito [0,∞), que surge de la estadística de Kaniadakis . Es un ejemplo de distribución de Kaniadakis . La distribución gamma generalizada κ es una deformación de la distribución gamma generalizada .

Definiciones

Función de densidad de probabilidad

La distribución κ -Gamma de Kaniadakis tiene la siguiente función de densidad de probabilidad : ^{[ 1 ]}

f_{_{\kappa }}(x)=(1+\kappa \nu )(2\kappa )^{\nu }{\frac {\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}{\frac {\alpha \beta ^{\nu }}{\Gamma {\big (}\nu {\big )}}}x^{\alpha \nu -1}\exp _{\kappa }(-\beta x^{\alpha })

válido para $x\geq 0$ , dónde $0\leq |\kappa |<1$ es el índice entrópico asociado con la entropía de Kaniadakis , $0<\nu <1/\kappa$ , $\beta >0$ es el parámetro de escala, y $\alpha >0$ es el parámetro de forma.

La distribución Gamma generalizada ordinaria se recupera como $\kappa \rightarrow 0$ : $f_{_{0}}(x)={\frac {|\alpha |\beta ^{\nu }}{\Gamma \left(\nu \right)}}x^{\alpha \nu -1}\exp _{\kappa }(-\beta x^{\alpha })$ .

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa de la distribución κ -Gamma adopta la forma:

F_{\kappa }(x)=(1+\kappa \nu )(2\kappa )^{\nu }{\frac {\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}{\frac {\alpha \beta ^{\nu }}{\Gamma {\big (}\nu {\big )}}}\int _{0}^{x}z^{\alpha \nu -1}\exp _{\kappa }(-\beta z^{\alpha })dz

válido para $x\geq 0$ , dónde $0\leq |\kappa |<1$ La distribución Gamma generalizada acumulativa se recupera en el límite clásico . $\kappa \rightarrow 0$ .

Propiedades

Momentos y modo

La distribución κ -Gamma tiene un momento de orden $m$ dado por ^{[ 1 ]}

\operatorname {E} [X^{m}]=\beta ^{-m/\alpha }{\frac {(1+\kappa \nu )(2\kappa )^{-m/\alpha }}{1+\kappa {\big (}\nu +{\frac {m}{\alpha }}{\big )}}}{\frac {\Gamma {\big (}\nu +{\frac {m}{\alpha }}{\big )}}{\Gamma (\nu )}}{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}}{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}-{\frac {m}{2\alpha }}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {m}{2\alpha }}{\Big )}}}

El momento del orden $m$ de la distribución κ -Gamma es finita para $0<\nu +m/\alpha <1/\kappa$ .

La moda viene dada por:

x_{\textrm {modo}}=\beta ^{-1/\alpha }{\Bigg (}\nu -{\frac {1}{\alpha }}{\Bigg )}^{\frac {1}{\alpha }}{\Bigg [}1-\kappa ^{2}{\bigg (}\nu -{\frac {1}{\alpha }}{\bigg )}^{2}{\Bigg ]}^{-{\frac {1}{2\alpha }}}

Comportamiento asintótico

La distribución κ -Gamma se comporta asintóticamente de la siguiente manera: ^{[ 1 ]}

\lim _{x\to +\infty }f_{\kappa }(x)\sim (2\kappa \beta )^{-1/\kappa }(1+\kappa \nu )(2\kappa )^{\nu }{\frac {\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}{\frac {\alpha \beta ^{\nu }}{\Gamma {\big (}\nu {\big )}}}x^{\alpha \nu -1-\alpha /\kappa }

\lim _{x\to 0^{+}}f_{\kappa }(x)=(1+\kappa \nu )(2\kappa )^{\nu }{\frac {\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}{\frac {\alpha \beta ^{\nu }}{\Gamma {\big (}\nu {\big )}}}x^{\alpha \nu -1}

Distribuciones relacionadas

La distribución κ -Gamma es una generalización de:
- Distribución κ -exponencial de tipo I , cuando $\alpha =\nu =1$ ;
- Distribución Kaniadakis κ -Erlang , cuando $\alpha =1$ y $\nu =n=$ entero positivo.
- Distribución κ -seminormal , cuando $\alpha =2$ y $\nu =1/2$ ;
Una distribución κ -Gamma corresponde a varias distribuciones de probabilidad cuando $\kappa =0$ $\kappa =0$ , como:
- Distribución Gamma , cuando $\alpha =1$ ;
- Distribución exponencial , cuando $\alpha =\nu =1$ ;
- distribución de Erlang , cuando $\alpha =1$ y $\nu =n=$ entero positivo;
- Distribución Chi-cuadrado , cuando $\alpha =1$ y $\nu =$ medio entero;
- Distribución de Nakagami , cuando $\alpha =2$ y $\nu >0$ ;
- distribución de Rayleigh , cuando $\alpha =2$ y $\nu =1$ ;
- Distribución Chi , cuando $\alpha =2$ y $\nu =$ medio entero;
- distribución de Maxwell, cuando $\alpha =2$ y $\nu =3/2$ ;
- Distribución seminormal , cuando $\alpha =2$ y $\nu =1/2$ ;
- distribución de Weibull , cuando $\alpha >0$ y $\nu =1$ ;
- Distribución exponencial estirada , cuando $\alpha >0$ y $\nu =1/\alpha$ ;

Véase también

Referencias

1 2 3 Kaniadakis, G. (2021-01-01). "Nuevas distribuciones con cola de ley de potencias que emergen en la estadística κ (a)" . Europhysics Letters . 133 (1) 10002. arXiv : 2203.01743 . Bibcode : 2021EL....13310002K . doi : 10.1209/0295-5075/133/10002 . ISSN 0295-5075 . S2CID 234144356 .

Enlaces externos

Estadísticas de Kaniadakis en arXiv.org

[:0-1] 1 2 3 Kaniadakis, G. (2021-01-01). "Nuevas distribuciones con cola de ley de potencias que emergen en la estadística κ (a)" . Europhysics Letters . 133 (1) 10002. arXiv : 2203.01743 . Bibcode : 2021EL....13310002K . doi : 10.1209/0295-5075/133/10002 . ISSN 0295-5075 . S2CID 234144356 .