Las conjeturas de Kaplansky

El matemático Irving Kaplansky es conocido por proponer numerosas conjeturas en diversas ramas de las matemáticas, incluyendo una lista de diez conjeturas sobre álgebras de Hopf . Estas conjeturas se conocen comúnmente como las conjeturas de Kaplansky .

Sea K un cuerpo y G un grupo sin torsión . La conjetura del divisor cero de Kaplansky afirma:

• El anillo de grupo K [ G ] no contiene divisores de cero no triviales , es decir, es un dominio .

Dos conjeturas relacionadas se conocen respectivamente como la conjetura idempotente de Kaplansky :

• K [ G ] no contiene ningún idempotente no trivial , es decir, si ^a2 = a , entonces a = 1 o a = 0 .

y la conjetura de la unidad de Kaplansky (que fue formulada originalmente por Graham Higman y popularizada por Kaplansky):

• K [ G ] no contiene ninguna unidad no trivial , es decir, si ab = 1 en K [ G ] , entonces a = kg para algún k en K y g en G.

La conjetura del divisor de cero implica la conjetura de idempotencia y está implicada por la conjetura de la unidad. A fecha de 2021, las conjeturas del divisor de cero y de idempotencia siguen abiertas. Sin embargo, la conjetura de la unidad fue refutada en característica 2 por Giles Gardam al exhibir un contraejemplo explícito en un grupo cristalográfico , concretamente el grupo fundamental de la variedad de Hantzsche-Wendt ; véase también el grupo de Fibonacci . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Un preimpreso posterior de Gardam afirma que esencialmente el mismo elemento también proporciona un contraejemplo en característica 0 (encontrar un inverso es computacionalmente mucho más complejo en este contexto, de ahí el retraso entre el primer resultado y el segundo). ^{[ 4 ]}

Existen demostraciones de las conjeturas de idempotencia y de divisor cero para amplias clases de grupos. Por ejemplo, la conjetura del divisor cero es conocida para todos los grupos elementales amenables (una clase que incluye a todos los grupos virtualmente resolubles), ya que se sabe que sus álgebras de grupo son dominios de Ore . ^{[ 5 ]} De ello se deduce que la conjetura se cumple de forma más general para todos los grupos elementales amenables residuales sin torsión. Nótese que cuando${\displaystyle K}$es un campo de característica cero, entonces la conjetura del divisor de cero está implicada por la conjetura de Atiyah , que también se ha establecido para grandes clases de grupos.

La conjetura de idempotencia tiene una generalización, la conjetura de idempotencia de Kadison , también conocida como conjetura de Kadison - Kaplansky, para elementos en el grupo reducido C*-álgebra . En este contexto, se sabe que si la conjetura de Farrell-Jones se cumple para K [ G ] , entonces también se cumple la conjetura de idempotencia. Esta última se ha resuelto positivamente para una clase extremadamente grande de grupos, incluyendo, por ejemplo, todos los grupos hiperbólicos .

Se sabe que la conjetura de la unidad también se cumple en muchos grupos, pero sus soluciones parciales son mucho menos robustas que las de las otras dos (como lo demuestra el contraejemplo mencionado anteriormente). No se sabe que esta conjetura se derive de ningún enunciado analítico, como las otras dos, por lo que los casos en los que se sabe que se cumple se han establecido mediante un enfoque combinatorio directo que involucra la llamada propiedad de productos únicos. Gracias al trabajo de Gardam mencionado anteriormente, ahora se sabe que no es cierta en general.

Esta conjetura afirma que todo homomorfismo de álgebras del álgebra de Banach C ( X ) (funciones continuas de valores complejos definidas en X , donde X es un espacio compacto de Hausdorff ) en cualquier otra álgebra de Banach es necesariamente continuo . La conjetura es equivalente a afirmar que toda norma de álgebra en C ( X ) es equivalente a la norma uniforme usual . (El propio Kaplansky había demostrado previamente que toda norma de álgebra completa en C ( X ) es equivalente a la norma uniforme).

A mediados de la década de 1970, H. Garth Dales y J. Esterle demostraron independientemente que, si además se asume la validez de la hipótesis del continuo , existen espacios compactos de Hausdorff X y homomorfismos discontinuos de C ( X ) a alguna álgebra de Banach, dando contraejemplos a la conjetura.

En 1976, RM Solovay (basándose en el trabajo de H. Woodin) presentó un modelo de ZFC ( teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel + axioma de elección ) en el que la conjetura de Kaplansky es verdadera. La conjetura de Kaplansky es, por lo tanto, un ejemplo de una afirmación indecidible en ZFC .

En 1953, Kaplansky propuso la conjetura de que los valores finitos de los u -invariantes solo pueden ser potencias de 2. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

En 1989, la conjetura fue refutada por Alexander Merkurjev, quien demostró campos con u- invariantes de cualquier m par . ^{[ 6 ]} En 1999, Oleg Izhboldin construyó un campo con u- invariante m = 9 que fue el primer ejemplo de un u -invariante impar. ^{[ 8 ]} En 2006, Alexander Vishik demostró campos con u- invariante${\displaystyle m=2^{k}+1}$para cualquier entero k que comience desde 3. ^{[ 9 ]}

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• Puschnigg, Michael (julio de 2002). "La conjetura de Kadison-Kaplansky para grupos hiperbólicos de palabras". Inventiones Mathematicae . 149 (1): 153– 194. Bibcode : 2002InMat.149..153P . doi : 10.1007/s002220200216 . ISSN 0020-9910 . 
• Dales, HG; Woodin, WH (1987). Introducción a la independencia para analistas (1.ª  ed.). Cambridge University Press. doi : 10.1017/cbo9780511662256 . ISBN 978-0-521-33996-4.