Curva Kappa

En geometría , la curva kappa o curva de Gutschoven es una curva algebraica bidimensional que se asemeja a la letra griega ϰ (kappa) . Gérard van Gutschoven la estudió por primera vez alrededor de 1662. En la historia de las matemáticas , se la recuerda como uno de los primeros ejemplos de la aplicación de métodos de cálculo rudimentario por parte de Isaac Barrow para determinar la tangente de una curva. Isaac Newton y Johann Bernoulli continuaron posteriormente el estudio de esta curva.

Utilizando el sistema de coordenadas cartesianas se puede expresar como

${\displaystyle x^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=a^{2}y^{2}}$

o bien, utilizando ecuaciones paramétricas ,

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sin t,\\y&=a\sin t\tan t.\end{aligned}}}$

En coordenadas polares su ecuación es aún más simple:

${\displaystyle r=a\tan \theta .}$

Tiene dos asíntotas verticales en x = ± a , que se muestran como líneas azules discontinuas en la figura de la derecha.

La curvatura de la curva kappa :

${\displaystyle \kappa (\theta )={\frac {8\left(3-\sin ^{2}\theta \right)\sin ^{4}\theta }{a\left(\sin ^{2}(2\theta )+4\right)^{\frac {3}{2}}}}.}$

Ángulo tangencial :

${\displaystyle \phi (\theta )=-\arctan \left({\tfrac {1}{2}}\sin(2\theta )\right).}$

Las líneas tangentes de la curva kappa también se pueden determinar geométricamente utilizando diferenciales y las reglas elementales de la aritmética infinitesimal . Supongamos que x e y son variables, mientras que a se toma como una constante. A partir de la definición de la curva kappa,

${\displaystyle x^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)-a^{2}y^{2}=0}$

Ahora, un cambio infinitesimal en nuestra ubicación también debe cambiar el valor del lado izquierdo, por lo que

${\displaystyle d\left(x^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)-a^{2}y^{2}\right)=0}$

Distribuir el diferencial y aplicar las reglas apropiadas ,

${\displaystyle {\begin{aligned}d\left(x^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)-d\left(a^{2}y^{2}\right)&=0\\[6px](2x\,dx)\left(x^{2}+y^{2}\right)+x^{2}(2x\,dx+2y\,dy)-a^{2}2y\,dy&=0\\[6px]\left(4x^{3}+2xy^{2}\right)dx+\left(2yx^{2}-2a^{2}y\right)dy&=0\\[6px]x\left(2x^{2}+y^{2}\right)dx+y\left(x^{2}-a^{2}\right)dy&=0\\[6px]{\frac {x\left(2x^{2}+y^{2}\right)}{y\left(a^{2}-x^{2}\right)}}&={\frac {dy}{dx}}\end{aligned}}}$

Si utilizamos el concepto moderno de una relación funcional y ( x ) y aplicamos la diferenciación implícita , la pendiente de una línea tangente a la curva kappa en un punto ( x , y ) es:

${\displaystyle {\begin{aligned}2x\left(x^{2}+y^{2}\right)+x^{2}\left(2x+2y{\frac {dy}{dx}}\right)&=2a^{2}y{\frac {dy}{dx}}\\[6px]2x^{3}+2xy^{2}+2x^{3}&=2a^{2}y{\frac {dy}{dx}}-2x^{2}y{\frac {dy}{dx}}\\[6px]4x^{3}+2xy^{2}&=\left(2a^{2}y-2x^{2}y\right){\frac {dy}{dx}}\\[6px]{\frac {2x^{3}+xy^{2}}{a^{2}yx^{2}y}}&={\frac {dy}{dx}}\end{aligned}}}$

• Lawrence, J. Dennis (1972). Un catálogo de curvas planas especiales . Nueva York: Dover. págs. 139–141 . ISBN  0-486-60288-5.

• Weisstein, Eric W. "Curva de Kappa" . MundoMatemático .
• Un applet de Java para jugar con la curva.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Curva Kappa" , Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews