Anillo de Kasch

En la teoría de anillos , un subcampo del álgebra abstracta , un anillo de Kasch derecho es un anillo R para el cual cada módulo R derecho simple es isomorfo a un ideal derecho de R. ^[1] De manera análoga , se define la noción de un anillo de Kasch izquierdo , y las dos propiedades son independientes entre sí.

Los anillos de Kasch reciben su nombre en honor al matemático Friedrich Kasch. Kasch originalmente llamó anillos S a los anillos artinianos cuyos ideales propios tienen aniquiladores distintos de cero . ^{[2] [3]} Las caracterizaciones a continuación muestran que los anillos de Kasch generalizan los anillos S.

Se introducirán definiciones equivalentes solo para la versión de la mano derecha, con el entendimiento de que los análogos de la mano izquierda también son ciertos. Las condiciones de Kasch tienen algunas afirmaciones equivalentes que utilizan el concepto de aniquiladores , y este artículo utiliza la misma notación que aparece en el artículo sobre aniquiladores.

Además de la definición dada en la introducción, las siguientes propiedades son definiciones equivalentes para que un anillo R sea recto según Kasch. Aparecen en Lam (1999, p. 281):

1. Para cada módulo R recto simple M , existe un homomorfismo de módulo distinto de cero de M en R .
2. Los ideales rectos máximos de R son aniquiladores rectos de elementos del anillo, es decir, cada uno es de la forma donde x está en R.${\displaystyle \mathrm {r.ann} (x)}$
3. Para cualquier ideal recto máximo T de R , .${\displaystyle \mathrm {\ell .ann} (T)\neq \{0\}}$
4. Para cualquier ideal correcto propio T de R , .${\displaystyle \mathrm {\ell .ann} (T)\neq \{0\}}$
5. Para cualquier ideal recto máximo T de R , .${\displaystyle \mathrm {r.ann} (\mathrm {\ell .ann} (T))=T}$
6. R no tiene ideales densos correctos excepto R mismo.

El contenido a continuación se puede encontrar en referencias como Faith (1999, p. 109), Lam (1999, §§8C,19B), Nicholson & Yousif (2003, p.51).

• Sea R un anillo semiprimario con radical de Jacobson J. Si R es conmutativo , o si R / J es un anillo simple , entonces R es Kasch derecho (e izquierdo). En particular, los anillos artinianos conmutativos son Kasch derecho e izquierdo.
• Para un anillo de división k , considere un subanillo R del anillo de matrices de 4 por 4 con entradas de k . El subanillo R consta de matrices de la siguiente forma:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&0&b&c\\0&a&0&d\\0&0&a&0\\0&0&0&e\end{bmatrix}}}$

Se trata de un anillo Artiniano de derecha e izquierda, que es Kasch derecho, pero no Kasch izquierdo.

• Sea S el anillo de series de potencias sobre dos variables no conmutativas X e Y con coeficientes de un cuerpo F. Sea el ideal A el ideal generado por los dos elementos YX e Y ^2. El anillo cociente S / A es un anillo local que es Kasch derecho pero no Kasch izquierdo.
• Supóngase que R es un producto directo de una infinidad de anillos distintos de cero denominados A _k . La suma directa de los A _k forma un ideal propio de R . Se comprueba fácilmente que los aniquiladores izquierdo y derecho de este ideal son cero, y por tanto R no es un Kasch derecho o izquierdo.
• El anillo de matriz triangular superior (o inferior) de 2 por 2 no es Kasch derecho ni izquierdo.
• Un anillo con zócalo derecho cero (es decir , ) no puede ser un anillo Kasch derecho, ya que el anillo no contiene ideales derechos mínimos . Por lo tanto, por ejemplo, los dominios que no son anillos de división no son anillos Kasch derechos ni izquierdos.${\displaystyle \mathrm {soc} (R_{R})=\{0\}}$

• Faith, Carl (1999), Anillos y cosas y una fina variedad de álgebra asociativa del siglo XX , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 65, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. xxxiv+422, ISBN 978-0-8218-0993-8, Sr.  1657671
• Kasch, Friedrich (1954), "Grundlagen einer Theorie der Frobeniuserweiterungen", Math. Ana. (en alemán), 127 : 453–474, doi : 10.1007/bf01361137, ISSN  0025-5831, SEÑOR  0062724
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas n.º 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, Sr.  1653294
• Morita, Kiiti (1966), "Sobre los anillos S en el sentido de F. Kasch", Nagoya Math. J. , 27 (2): 687–695, doi : 10.1017/S0027763000026477 , ISSN  0027-7630, MR  0199230
• Nicholson, WK; Yousif, MF (2003), Anillos cuasi-Frobenius , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 158, Cambridge: Cambridge University Press, págs. xviii+307, doi :10.1017/CBO9780511546525, ISBN 978-0-521-81593-2, Sr.  2003785