Teorema de circulación de Kelvin

En mecánica de fluidos , el teorema de circulación de Kelvin establece: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

En un fluido ideal barotrópico con fuerzas de volumen conservativas , la circulación alrededor de una curva cerrada (que encierra los mismos elementos del fluido) que se mueve con el fluido permanece constante en el tiempo.

El teorema recibe su nombre de William Thomson, primer barón Kelvin, quien lo publicó en 1869.

Expresado matemáticamente:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=0}$

dónde${\displaystyle \Gamma }$es la circulación alrededor de un contorno de material en movimiento${\displaystyle C(t)}$en función del tiempo${\displaystyle t}$El operador diferencial${\displaystyle \mathrm {D} }$es una derivada sustancial (material) que se mueve con las partículas del fluido. ^{[ 3 ]} Dicho de forma más sencilla, este teorema afirma que si se observa un contorno cerrado en un instante y se sigue el contorno a lo largo del tiempo (siguiendo el movimiento de todos sus elementos fluidos), la circulación sobre las dos ubicaciones de este contorno permanece constante.

Este teorema no se cumple en casos con esfuerzos viscosos , fuerzas de volumen no conservativas (por ejemplo, la fuerza de Coriolis ) o relaciones presión-densidad no barotrópicas.

En el caso especial simplificado de flujo estacionario, el teorema puede aplicarse a una curva cerrada con una posición fija, de modo que los elementos de fluido fluyan a través de ella. En el estudio de perfiles aerodinámicos que generan sustentación, suele ser instructivo examinar la circulación alrededor de cualquier curva cerrada que la encierre completamente; en el flujo estacionario de un fluido no viscoso alrededor de un perfil aerodinámico estacionario, el teorema puede aplicarse a dicha curva cerrada. ^{[ 4 ]}

La circulación${\displaystyle \Gamma }$alrededor de un contorno de material cerrado${\displaystyle C(t)}$se define por:

${\displaystyle \Gamma (t)=\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}$

donde u es el vector de velocidad y ds es un elemento a lo largo del contorno cerrado.

La ecuación que rige un fluido no viscoso con una fuerza de volumen conservativa es:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}=-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi }$

donde D/D t es la derivada convectiva , ρ es la densidad del fluido, p es la presión y Φ es el potencial de la fuerza volumétrica. Estas son las ecuaciones de Euler con una fuerza volumétrica.

La condición de barotropía implica que la densidad es una función únicamente de la presión, es decir${\displaystyle \rho =\rho (p)}$.

Tomando la derivada convectiva de la circulación se obtiene

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=\oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}.}$

Para el primer término, sustituimos a partir de la ecuación gobernante y luego aplicamos el teorema de Stokes , de la siguiente manera:

${\displaystyle \oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=\int _{A}{\boldsymbol {\nabla }}\times \left(-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right)\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=\int _{A}{\frac {1}{\rho ^{2}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\rho \times {\boldsymbol {\nabla }}p\right)\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=0.}$

La igualdad final surge porque${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\rho \times {\boldsymbol {\nabla }}p=0}$debido a la barotropía. También hemos utilizado el hecho de que el rotacional de cualquier gradiente es necesariamente 0, o${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\nabla }}f=0}$para cualquier función${\displaystyle f}$.

Para el segundo término, observamos que la evolución del elemento de línea material viene dada por

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}=\left(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}.}$

Por eso

${\displaystyle \oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}=\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \left(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}={\frac {1}{2}}\oint _{C}{\boldsymbol {\nabla }}\left(|{\boldsymbol {u}}|^{2}\right)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=0.}$

La última igualdad se obtiene aplicando el teorema del gradiente .

Como ambos términos son cero, obtenemos el resultado.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=0.}$

Un principio similar que conserva una cantidad también se puede obtener para el sistema de referencia giratorio, conocido como el teorema de Poincaré-Bjerknes, llamado así por Henri Poincaré y Vilhelm Bjerknes , quienes derivaron el invariante en 1893 ^{[ 5 ] [ 6 ]} y 1898. ^{[ 7 ] [ 8 ]} El teorema se puede aplicar a un sistema de referencia giratorio que rota a una velocidad angular constante dada por el vector${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$, para la circulación modificada

${\displaystyle \Gamma (t)=\oint _{C}({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {r}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}$

Aquí${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$es la posición del área del fluido. Según el teorema de Stokes , esto es:

${\displaystyle \Gamma (t)=\int _{A}{\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {r}})\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=\int _{A}({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {u}}+2{\boldsymbol {\Omega }})\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S}$

La vorticidad de un campo de velocidad en dinámica de fluidos se define por:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {u}}}$

Entonces:

${\displaystyle \Gamma (t)=\int _{A}({\boldsymbol {\omega }}+2{\boldsymbol {\Omega }})\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S}$

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