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Teorema de universalidad de Kempe

En geometría algebraica , el teorema de universalidad de Kempe establece que cualquier subconjunto acotado de una curva algebraica puede ser trazado por el movimiento de una de ...

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En geometría algebraica , el teorema de universalidad de Kempe establece que cualquier subconjunto acotado de una curva algebraica puede ser trazado por el movimiento de una de las articulaciones de un mecanismo adecuadamente elegido . [ 1 ] Recibe su nombre del matemático británico Alfred B. Kempe , quien en 1876 publicó su artículo « Sobre un método general para describir curvas planas de grado n mediante mecanismos», [ 2 ] que demostró que para cualquier curva plana algebraica arbitraria, se puede construir un mecanismo que la dibuja. Sin embargo, la demostración de Kempe era defectuosa y la primera demostración completa se proporcionó en 2002 basándose en sus ideas. [ 3 ] [ 4 ]

Este teorema se ha popularizado describiéndolo como: "¡Se puede diseñar un mecanismo que firme con tu nombre!" [ 5 ]

Kempe reconoció que sus resultados demostraban la existencia de un vínculo de dibujo, pero que no sería práctico. Afirma:

Es casi necesario añadir que este método no sería prácticamente útil debido a la complejidad del entramado empleado, consecuencia necesaria de la perfecta generalidad de la demostración. [ 2 ]

A continuación, insta al "artista matemático" a encontrar formas más sencillas de lograr este resultado:

El método, sin embargo, resulta interesante, ya que demuestra que existe una manera de representar cualquier caso dado; y la variedad de métodos para expresar funciones particulares que ya se han descubierto hace sumamente probable que en cada caso se pueda encontrar un método más sencillo. No obstante, aún existe un amplio campo abierto para que el matemático descubra las relaciones más simples que describan curvas particulares. [ 2 ]

Se dispone de una serie de animaciones que demuestran el funcionamiento resultante del teorema de universalidad de Kempe para la parábola , la cúbica autointersecante , la cúbica elíptica suave y las curvas trifolium . [ 6 ]

Enlaces de dibujo más sencillos

Se han adoptado diversos enfoques para simplificar los mecanismos de dibujo derivados del teorema de universalidad de Kempe. Parte de la complejidad proviene de los mecanismos que Kempe utilizó para realizar la suma y la resta de dos ángulos, la multiplicación de un ángulo por una constante y la traslación de la rotación de un eslabón en una ubicación a la rotación de un segundo eslabón en otra ubicación. Kempe denominó a estos mecanismos, respectivamente, mecanismos sumadores, reversores, multiplicadores y trasladores. El mecanismo de dibujo puede simplificarse utilizando diferenciales de engranajes cónicos para sumar y restar ángulos, trenes de engranajes para multiplicar ángulos y transmisiones por correa o cable para trasladar ángulos de rotación. [ 7 ]

Otra fuente de complejidad es la generalidad de la aplicación de Kempe a todas las curvas algebraicas. Al centrarse en curvas algebraicas parametrizadas, el álgebra de cuaterniones dual puede utilizarse para factorizar el polinomio de movimiento y obtener un mecanismo de tracción. [ 8 ] Esto se ha extendido para proporcionar el movimiento del efector final, pero de nuevo para curvas parametrizadas. [ 9 ]

La especialización de las curvas a aquellas definidas por polinomios trigonométricos ha proporcionado otra forma de obtener mecanismos de dibujo más sencillos. [ 10 ] Las curvas de Bézier pueden escribirse en forma de polinomios trigonométricos; por lo tanto, se puede diseñar un sistema de mecanismos que dibuje cualquier curva aproximada por una secuencia de curvas de Bézier. [ 11 ]

Visualizaciones

A continuación se muestra un ejemplo de un mecanismo de cadena serial acoplado simple, diseñado por Liu y McCarthy, [ 10 ] utilizado para dibujar la curva trifolium (izquierda) y una curva hipocicloide (derecha).

Véase también

Referencias

  1. ↑ A. Saxena (2011) Kempe's Linkages and the Universality Theorem Archivado el 7 de diciembre de 2016 en Wayback Machine , RESONANCE
  2. 1 2 3 Kempe, AB (1875). "Sobre un método general para describir curvas planas de grado n mediante enlaces" . Actas de la Sociedad Matemática de Londres . s1-7 : 213–216 . doi : 10.1112/plms/s1-7.1.213 .
  3. ↑ M. Kapovich y JJ Millson (2002), Teoremas de universalidad para espacios de configuración de enlaces planares Topología, Pergamon Press.
  4. ↑ Demaine, Erik ; O'Rourke, Joseph (2007), "3.2 Teorema de universalidad de Kempe", Algoritmos de plegado geométrico , Cambridge University Press, pp. 31–40 , ISBN  978-0-521-71522-5.
  5. ↑ J. Malkevich, Columna de opinión, Sociedad Matemática Americana.
  6. ↑ A. Kobel, (2008) Generación automatizada de enlaces de Kempe para curvas algebraicas en un sistema de geometría dinámica. Universidad de Saarland, Saarbrücken, Alemania, Facultad de Ciencias Naturales y Tecnología I, Departamento de Informática.
  7. ↑ Liu, Yang; McCarthy, J. Michael (2017). "Síntesis de un mecanismo para dibujar una curva algebraica plana". Mechanism and Machine Theory . 111 : 10–20 . doi : 10.1016/j.mechmachtheory.2016.12.005 .
  8. ↑ G. Hegedus, Z. Li, J. Schicho, HP Schrocker (2015), Del teorema fundamental del álgebra al teorema de universalidad de Kempe
  9. ↑ M. Gallet, C. Koutschan, Z. Li, G. Regensburger, J. Schicho y N. Villamiza (2017), Mecanismos planares que siguen un movimiento prescrito , Mathematics of Computation, 86(303), páginas 473-506.
  10. 1 2 Y. Liu y JM McCarthy (2017), Diseño de mecanismos para dibujar curvas planas trigonométricas , J of Mechanisms and Robotics, 9(2), 024503
  11. ↑ Y. Liu y JM McCarthy (2017), Diseño de un sistema de enlace para escribir en cursiva , J of Computers and Information in Science and Engineering, 17(3)
  • Animaciones de A. Kobel de la parábola, la cúbica autointersecante, la cúbica elíptica suave y las curvas trifoliadas.
  • El método de cálculo mecánico de Y. Liu para dibujar curvas planas algebraicas.
  • M. Gallet et al. animaciones de mecanismos que siguen un movimiento prescrito
  • Las animaciones de Y. Liu dibujando curvas planas trigonométricas, el mecanismo de la mariposa.
  • Enlace que firma tu nombre
  • Enlace que escribe chino cursivo