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Articulo de referencia

La ecuación de Kepler

En mecánica orbital , la ecuación de Kepler relaciona varias propiedades geométricas de la órbita de un cuerpo sometido a una fuerza central . Fue derivada por Johannes Kepler e...

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En mecánica orbital , la ecuación de Kepler relaciona varias propiedades geométricas de la órbita de un cuerpo sometido a una fuerza central .

Fue derivada por Johannes Kepler en 1609 en el Capítulo 60 de su Astronomia nova , [ 1 ] [ 2 ] y en el libro V de su Epitome of Copernican Astronomy (1621) Kepler propuso una solución iterativa a la ecuación. [ 3 ] [ 4 ] Sin embargo, esta ecuación y su solución aparecieron por primera vez en una obra del siglo IX de Habash al-Hasib al-Marwazi , que trataba sobre problemas de paralaje. [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] La ecuación ha jugado un papel importante en la historia tanto de la física como de las matemáticas, particularmente en la mecánica celeste clásica .

Ecuación

Soluciones de la ecuación de Kepler para cinco excentricidades diferentes entre 0 y 1

La ecuación de Kepler es

Anomalía media M y anomalía excéntrica E

METRO=mi−mipecado⁡mi{\displaystyle M=Ee\sin E}

dóndeMETRO{\displaystyle M}es la anomalía media ,mi{\displaystyle E}es la anomalía excéntrica ymi{\displaystyle e}es la excentricidad .

La 'anomalía excéntrica'mi{\displaystyle E}es útil para calcular la posición de un punto que se mueve en una órbita kepleriana. Como por ejemplo, si el cuerpo pasa el periastro en las coordenadasincógnita=a(1−mi){\displaystyle x=a(1-e)},y=0{\displaystyle y=0}, en ese momentot=t0{\displaystyle t=t_{0}}, entonces para averiguar la posición del cuerpo en cualquier momento, primero se calcula la anomalía media.METRO{\displaystyle M}a partir del tiempo y el movimiento medionorte{\displaystyle n}por la fórmulaMETRO=norte(t−t0){\displaystyle M=n(t-t_{0})}, luego resuelve la ecuación de Kepler anterior para obtenermi{\displaystyle E}Luego, obtenga las coordenadas relativas al cuerpo gravitacional central a partir de:

incógnita=a(porque⁡mi−mi)y=bpecado⁡mi{\displaystyle {\begin{array}{lcl}x&=&a(\cos E-e)\\y&=&b\sin E\end{array}}}

dóndea{\displaystyle a}es el semieje mayor ,b{\displaystyle b}el semieje menor .

La ecuación de Kepler es una ecuación trascendental porque el seno es una función trascendental y no se puede resolver parami{\displaystyle E}algebraicamente . Generalmente se requieren análisis numéricos y desarrollos en serie para evaluarmi{\displaystyle E}.

Formas alternativas

Hay varias formas de la ecuación de Kepler. Cada forma está asociada con un tipo específico de órbita. La ecuación de Kepler estándar se utiliza para órbitas elípticas (0≤mi<1{\displaystyle 0\leq e<1}). La ecuación hiperbólica de Kepler se utiliza para trayectorias hiperbólicas (mi>1{\displaystyle e>1}). La ecuación radial de Kepler se utiliza para trayectorias lineales (radiales)mi=1{\displaystyle e=1}). La ecuación de Barker se utiliza para trayectorias parabólicas (para las cualesmi=1{\displaystyle e=1}Con la órbita parabólica, a diferencia de las órbitas elípticas o hiperbólicas, es posible resolver la ecuación de Barker y encontrar una expresión de forma cerrada para la posición en función del tiempo.

Cuandomi=0{\displaystyle e=0}, la órbita es circular. Aumentandomi{\displaystyle e}hace que el círculo se vuelva elíptico. Cuandomi=1{\displaystyle e=1}Hay cuatro posibilidades:

  • una trayectoria parabólica,
  • una trayectoria que va y viene a lo largo de un segmento de línea desde el centro de atracción hasta un punto situado a cierta distancia,
  • una trayectoria que entra o sale a lo largo de un rayo infinito que emana del centro de atracción, cuya velocidad tiende a cero con la distancia
  • o una trayectoria a lo largo de un rayo, pero con una velocidad que no tiende a cero con la distancia.

Un valor demi{\displaystyle e}Un valor ligeramente superior a 1 da como resultado una órbita hiperbólica con un ángulo de giro de poco menos de 180 grados. Mayores incrementos reducen el ángulo de giro, y comomi{\displaystyle e}Cuando tiende al infinito, la órbita se convierte en una línea recta de longitud infinita.

ecuación hiperbólica de Kepler

La ecuación hiperbólica de Kepler es:

METRO=misinh⁡(H)−H{\displaystyle M=e\sinh(H)-H}

dóndeH{\displaystyle H}es la anomalía excéntrica hiperbólica. Esta ecuación se deriva redefiniendo M como la raíz cuadrada de −1 veces el lado derecho de la ecuación elíptica:

METRO=i(mi−mipecado⁡mi){\displaystyle M=i\left(E-e\sin E\right)}

(en el cualmi{\displaystyle E}ahora es imaginario) y luego reemplazandomi{\displaystyle E}poriH{\displaystyle iH}.

Ecuaciones de Kepler radiales

La ecuación de Kepler radial para el caso en que el objeto no tiene suficiente energía para escapar es:

t(incógnita)=±[pecado−1⁡(incógnita)−incógnita(1−incógnita)]{\displaystyle t(x)=\pm {\biggr [}\sin ^{-1}({\sqrt {x}})-{\sqrt {x(1-x)}}{\biggr ]}}

dóndet{\displaystyle t}es proporcional al tiempo yincógnita{\displaystyle x}es proporcional a la distancia desde el centro de atracción a lo largo del rayo y alcanza el valor 1 en la distancia máxima. Esta ecuación se deriva multiplicando la ecuación de Kepler por 1/2 y estableciendomi{\displaystyle e}a 1:

t(incógnita)=12[mi−pecado⁡mi].{\displaystyle t(x)={\frac {1}{2}}\left[E-\sin E\right].}

y luego realizar la sustitución

mi=2pecado−1⁡(incógnita).{\displaystyle E=2\sin ^{-1}({\sqrt {x}}).}

La ecuación radial para cuando el objeto tiene suficiente energía para escapar es:

t(incógnita)=±[sinh−1⁡(incógnita)−incógnita(1+incógnita)]{\displaystyle t(x)=\pm {\biggr [}\sinh ^{-1}({\sqrt {x}})-{\sqrt {x(1+x)}}{\biggr ]}}

Cuando la energía es exactamente la cantidad mínima necesaria para escapar, entonces el tiempo es simplemente proporcional a la distancia elevada a la potencia de 3/2.

Problema inverso

CalculadorMETRO{\displaystyle M}para un valor dado demi{\displaystyle E}es sencillo. Sin embargo, resolver parami{\displaystyle E}cuandoMETRO{\displaystyle M}Se da como resultado puede ser considerablemente más desafiante. No hay una solución de forma cerrada . Resolver parami{\displaystyle E}es más o menos equivalente a resolver para la anomalía verdadera , o la diferencia entre la anomalía verdadera y la anomalía media, que se llama la " ecuación del centro ".

Se puede escribir una expresión de serie infinita para la solución de la ecuación de Kepler usando la inversión de Lagrange , pero la serie no converge para todas las combinaciones demi{\displaystyle e}yMETRO{\displaystyle M}(vea abajo).

La confusión sobre la resolubilidad de la ecuación de Kepler ha persistido en la literatura durante cuatro siglos. [ 9 ] El propio Kepler expresó dudas sobre la posibilidad de encontrar una solución general:

Estoy bastante convencido de que [la ecuación de Kepler] no puede resolverse a priori, debido a la naturaleza diferente del arco y el seno. Pero si me equivoco, y alguien me indica el camino, será para mí el gran Apolonio .

— Johannes Kepler [ 10 ]

expansión en serie de Fourier (con respecto aMETRO{\displaystyle M}) utilizando funciones de Bessel es [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]

mi=METRO+∑metro=1∞2metroJmetro(metromi)pecado⁡(metroMETRO),mi≤1,METRO∈[−π,π].{\displaystyle E=M+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {2}{m}}J_{m}(me)\sin(mM),\quad e\leq 1,\quad M\in [-\pi ,\pi ].}

Con respecto ami{\displaystyle e}, es una serie de Kapteyn .

Ecuación inversa de Kepler

La ecuación inversa de Kepler es la solución de la ecuación de Kepler para todos los valores reales demi{\displaystyle e}:

mi={∑norte=1∞METROnorte3norte¡límiteθ→0+(dnorte−1dθnorte−1((θθ−pecado⁡(θ)3)norte)),mi=1∑norte=1∞METROnortenorte¡límiteθ→0+(dnorte−1dθnorte−1((θθ−mipecado⁡(θ))norte)),mi≠1{\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\bigg (}{\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}{\bigg )}^{\!\!\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e=1\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{n}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\Big (}{\frac {\theta }{\theta -e\sin(\theta )}}{\Big )}^{\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e\neq 1\end{cases}}}

Al evaluar esto se obtiene:

mi={s+160s3+11400s5+125200s7+4317248000s9+12137207200000s11+15143912713500800000s13+⋯ con s=(6METRO)1/3,mi=111−miMETRO−mi(1−mi)4METRO33¡+(9mi2+mi)(1−mi)7METRO55¡−(225mi3+54mi2+mi)(1−mi)10METRO77¡+(11025mi4+4131mi3+243mi2+mi)(1−mi)13METRO99¡+⋯,mi≠1{\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle s+{\frac {1}{60}}s^{3}+{\frac {1}{1400}}s^{5}+{\frac {1}{25200}}s^{7}+{\frac {43}{17248000}}s^{9}+{\frac {1213}{7207200000}}s^{11}+{\frac {151439}{12713500800000}}s^{13}+\cdots {\text{ with }}s=(6M)^{1/3},&e=1\\\\\displaystyle {\frac {1}{1-e}}M-{\frac {e}{(1-e)^{4}}}{\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(9e^{2}+e)}{(1-e)^{7}}}{\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(225e^{3}+54e^{2}+e)}{(1-e)^{10}}}{\frac {M^{7}}{7!}}+{\frac {(11025e^{4}+4131e^{3}+243e^{2}+e)}{(1-e)^{13}}}{\frac {M^{9}}{9!}}+\cdots ,&e\neq 1\end{cases}}}

Estas series se pueden reproducir en Mathematica con la operación InverseSeries.

InverseSeries[Series[M-Sin[M],{M,0,10}]]
InverseSeries[Series[M-eSin[M],{M,0,10}]]

Estas funciones son series de Maclaurin simples . Tales representaciones en serie de Taylor de funciones trascendentales se consideran definiciones de esas funciones. Por lo tanto, esta solución es una definición formal de la ecuación inversa de Kepler. Sin embargo,mi{\displaystyle E}no es una función completa deMETRO{\displaystyle M}en un valor distinto de cero dadomi{\displaystyle e}. De hecho, el derivado

dMETRO/dmi=1−miporque⁡mi{\displaystyle \mathrm {dM} /\mathrm {d} E=1-e\cos E}

tiende a cero en un conjunto infinito de números complejos cuandomi<1,{\displaystyle e<1,}lo más cercano a cero está enmi=±iaporrear−1⁡(1/mi),{\displaystyle E=\pm i\cosh ^{-1}(1/e),}y en estos dos puntos

METRO=mi−mipecado⁡mi=±i(aporrear−1⁡(1/mi)−1−mi2){\displaystyle M=E-e\sin E=\pm i\left(\cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}\right)}

(donde se considera que el coseno inverso es positivo), ydmi/dMETRO{\displaystyle \mathrm {d} E/\mathrm {d} M}tiende a infinito en estos valores deMETRO{\displaystyle M}Esto significa que el radio de convergencia de la serie de Maclaurin esaporrear−1⁡(1/mi)−1−mi2{\displaystyle \cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}}y la serie no convergerá para valores deMETRO{\displaystyle M}mayor que esto. La serie también se puede utilizar para el caso hiperbólico, en cuyo caso el radio de convergencia esporque−1⁡(1/mi)−mi2−1.{\displaystyle \cos ^{-1}(1/e)-{\sqrt {e^{2}-1}}.}La serie para cuandomi=1{\displaystyle e=1}converge cuandoMETRO<2π{\displaystyle M<2\pi }.

Si bien esta solución es la más sencilla desde un punto de vista matemático, existen otras soluciones preferibles para la mayoría de las aplicaciones. Como alternativa, la ecuación de Kepler puede resolverse numéricamente.

La solución parami≠1{\displaystyle e\neq 1}fue descubierto por Karl Stumpff en 1968, [ 14 ] pero su importancia no fue reconocida. [ 15 ]

También se puede escribir una serie de Maclaurin enmi{\displaystyle e}Esta serie no converge cuandomi{\displaystyle e}es mayor que el límite de Laplace (aproximadamente 0,66), independientemente del valor deMETRO{\displaystyle M}(a menos queMETRO{\displaystyle M}es un múltiplo de 2π ), pero converge para todosMETRO{\displaystyle M}simi{\displaystyle e}es menor que el límite de Laplace. Los coeficientes en la serie, aparte del primero (que es simplementeMETRO{\displaystyle M}), dependen deMETRO{\displaystyle M}de forma periódica con periodo 2π .

Ecuación radial inversa de Kepler

La ecuación radial inversa de Kepler (mi=1{\displaystyle e=1}) para el caso en que el objeto no tenga suficiente energía para escapar se puede escribir de manera similar como:

incógnita(t)=∑norte=1∞[límiter→0+(t23nortenorte¡dnorte−1drnorte−1(rnorte(32(pecado−1⁡(r)−r−r2))−23norte))]{\displaystyle x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{r\to 0^{+}}\left({\frac {t^{{\frac {2}{3}}n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^{\,n-1}}}\!\left(r^{n}\left({\frac {3}{2}}{\Big (}\sin ^{-1}({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}}{\Big )}\right)^{\!-{\frac {2}{3}}n}\right)\right)\right]}

Al evaluar esto se obtiene:

incógnita(t)=pag−15pag2−3175pag3−237875pag4−18943031875pag5−329321896875pag6−241809262077640625pag7− ⋯ |pag=(32t)2/3{\displaystyle x(t)=p-{\frac {1}{5}}p^{2}-{\frac {3}{175}}p^{3}-{\frac {23}{7875}}p^{4}-{\frac {1894}{3031875}}p^{5}-{\frac {3293}{21896875}}p^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}p^{7}-\ \cdots \ {\bigg |}{p=\left({\tfrac {3}{2}}t\right)^{2/3}}}

Para obtener este resultado usando Mathematica :

InverseSeries[Series[ArcSin[Sqrt[t]]-Sqrt[(1-t)t],{t,0,15}]]

Aproximación numérica del problema inverso

El método de Newton

Para la mayoría de las aplicaciones, el problema inverso se puede calcular numéricamente hallando la raíz de la función:

F(mi)=mi−mipecado⁡(mi)−METRO(t){\displaystyle f(E)=E-e\sin(E)-M(t)}

Esto se puede hacer de forma iterativa mediante el método de Newton :

minorte+1=minorte−F(minorte)F′(minorte)=minorte−minorte−mipecado⁡(minorte)−METRO(t)1−miporque⁡(minorte){\displaystyle E_{n+1}=E_{n}-{\frac {f(E_{n})}{f'(E_{n})}}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M(t)}{1-e\cos(E_{n})}}}

Tenga en cuenta quemi{\displaystyle E}yMETRO{\displaystyle M}están en unidades de radianes en este cálculo. Esta iteración se repite hasta obtener la precisión deseada (por ejemplo, cuandoF(mi){\displaystyle f(E)}< precisión deseada). Para la mayoría de las órbitas elípticas, un valor inicial demi0=METRO(t){\displaystyle E_{0}=M(t)}es suficiente. Para órbitas conmi>0,8{\displaystyle e>0.8}, un valor inicial demi0=π{\displaystyle E_{0}=\pi }se puede utilizar. Numerosos trabajos desarrollaron estimaciones iniciales precisas (pero también más complejas). [ 16 ] Simi{\displaystyle e}es idénticamente 1, entonces la derivada deF{\displaystyle f}, que está en el denominador del método de Newton, puede acercarse a cero, haciendo que los métodos basados ​​en derivadas como Newton-Raphson, secante o regula falsi sean numéricamente inestables. En ese caso, el método de bisección proporcionará convergencia garantizada, particularmente porque la solución puede estar acotada en un pequeño intervalo inicial. En computadoras modernas, es posible lograr 4 o 5 dígitos de precisión en 17 a 18 iteraciones. [ 17 ] Un enfoque similar puede usarse para la forma hiperbólica de la ecuación de Kepler. [ 18 ] : 66–67 En el caso de una trayectoria parabólica, se usa la ecuación de Barker .

Iteración de punto fijo

Un método relacionado comienza por observar quemi=METRO+mipecado⁡mi{\displaystyle E=M+e\sin {E}}. Sustituyendo repetidamente la expresión de la derecha por lami{\displaystyle E}A la derecha se obtiene un algoritmo de iteración de punto fijo simple para evaluarmi(mi,METRO){\displaystyle E(e,M)}Este método es idéntico a la solución de Kepler de 1621. [ 4 ] En pseudocódigo :

función E ( e , M , n ) E = M para k = 1 a n E = M + e * sen E siguiente k devolver E

El número de iteraciones,norte{\displaystyle n}, depende del valor demi{\displaystyle e}. La forma hiperbólica tiene de manera similarH=sinh−1⁡(H+METROmi){\displaystyle H=\sinh ^{-1}\left({\frac {H+M}{e}}\right)}.

Este método está relacionado con la solución del método de Newton anterior en que

minorte+1=minorte−minorte−mipecado⁡(minorte)−METRO(t)1−miporque⁡(minorte)=minorte+(METRO+mipecado⁡minorte−minorte)(1+miporque⁡minorte)1−mi2(porque⁡minorte)2{\displaystyle E_{n+1}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M(t)}{1-e\cos(E_{n})}}=E_{n}+{\frac {(M+e\sin {E_{n}}-E_{n})(1+e\cos {E_{n}})}{1-e^{2}(\cos {E_{n}})^{2}}}}

Para realizar pedidos en pequeñas cantidadesMETRO−minorte{\displaystyle M-E_{n}}ymi{\displaystyle e},

minorte+1≈METRO+mipecado⁡minorte{\displaystyle E_{n+1}\approx M+e\sin {E_{n}}}.

Véase también

Referencias

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