Problema de Kepler

En mecánica clásica , el problema de Kepler es un caso particular del problema de dos cuerpos , en el que ambos interactúan mediante una fuerza central cuya magnitud varía inversamente con el cuadrado de la distancia que los separa. Esta fuerza puede ser atractiva o repulsiva. El problema consiste en hallar la posición o la velocidad de los dos cuerpos a lo largo del tiempo, dados sus masas , posiciones y velocidades . Utilizando la mecánica clásica, la solución puede expresarse como una órbita de Kepler mediante seis elementos orbitales .

El problema de Kepler recibe su nombre de Johannes Kepler , quien propuso las leyes de Kepler del movimiento planetario (que forman parte de la mecánica clásica y resolvieron el problema de las órbitas de los planetas) e investigó los tipos de fuerzas que darían como resultado órbitas que obedecieran esas leyes (conocido como el problema inverso de Kepler ). ^{[ 1 ]}

Para un análisis del problema de Kepler específico para órbitas radiales, véase Trayectoria radial . La relatividad general proporciona soluciones más precisas al problema de dos cuerpos, especialmente en campos gravitatorios intensos .

La ley del inverso del cuadrado que subyace al problema de Kepler es la ley de fuerza central más importante. ^{[ 1 ] : 92} El problema de Kepler es importante en mecánica celeste , ya que la gravedad newtoniana obedece una ley del inverso del cuadrado . Algunos ejemplos incluyen un satélite que se mueve alrededor de un planeta, un planeta alrededor de su sol o dos estrellas binarias una alrededor de la otra. El problema de Kepler también es importante en el movimiento de dos partículas cargadas, ya que la ley de Coulomb de la electrostática también obedece una ley del inverso del cuadrado .

El problema de Kepler y el problema del oscilador armónico simple son los dos problemas más fundamentales de la mecánica clásica . Son los únicos dos problemas que tienen órbitas cerradas para cualquier conjunto posible de condiciones iniciales, es decir, regresan a su punto de partida con la misma velocidad ( teorema de Bertrand ). ^{[ 1 ] : 92}

El problema de Kepler también conserva el vector de Laplace-Runge-Lenz , que posteriormente se generalizó para incluir otras interacciones. La solución del problema de Kepler permitió a los científicos demostrar que el movimiento planetario podía explicarse completamente mediante la mecánica clásica y la ley de gravitación de Newton ; la explicación científica del movimiento planetario desempeñó un papel importante en el surgimiento de la Ilustración .

El problema de Kepler comienza con los resultados empíricos de Johannes Kepler, obtenidos con gran esfuerzo mediante el análisis de las observaciones astronómicas de Tycho Brahe . Tras unos 70 intentos de ajustar los datos a órbitas circulares, Kepler dio con la idea de la órbita elíptica . Finalmente, resumió sus resultados en tres leyes del movimiento planetario . ^{[ 2 ]}

Lo que hoy se conoce como el problema de Kepler fue tratado por primera vez por Isaac Newton como parte fundamental de sus Principia . Su "Teorema I" comienza con los dos primeros de sus tres axiomas o leyes del movimiento y da como resultado la segunda ley de Kepler sobre el movimiento planetario. A continuación, Newton demuestra su "Teorema II", que muestra que si se cumple la segunda ley de Kepler, entonces la fuerza involucrada debe actuar a lo largo de la línea que une los dos cuerpos. En otras palabras, Newton demuestra lo que hoy podría llamarse el "problema inverso de Kepler": las características de la órbita requieren que la fuerza dependa del inverso del cuadrado de la distancia. ^{[ 3 ] : 107}

La fuerza central F entre dos objetos varía en magnitud con el inverso del cuadrado de la distancia r que los separa:

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

donde k es una constante y${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$representa el vector unitario a lo largo de la línea que los une. ^{[ 4 ]} La fuerza puede ser atractiva ( k < 0) o repulsiva ( k > 0). El potencial escalar correspondiente es:

${\displaystyle V(r)={\frac {k}{r}}}$

La ecuación de movimiento para el radio${\displaystyle r}$de una partícula de masa${\displaystyle m}$moviéndose en un potencial central${\displaystyle V(r)}$viene dada por las ecuaciones de Lagrange

${\displaystyle m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}}$

${\displaystyle \omega \equiv {\frac {d\theta }{dt}}}$y el momento angular${\displaystyle L=mr^{2}\omega }$se conserva. A modo de ejemplo, el primer término del lado izquierdo es cero para órbitas circulares, y la fuerza aplicada hacia adentro${\displaystyle {\frac {dV}{dr}}}$iguala el requerimiento de fuerza centrípeta${\displaystyle mr\omega ^{2}}$, como era de esperar.

Si L no es cero, la definición de momento angular permite un cambio de variable independiente desde${\displaystyle t}$a${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}}$

dando como resultado la nueva ecuación de movimiento que es independiente del tiempo.

${\displaystyle {\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}}$

La expansión del primer término es

${\displaystyle {\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)=-{\frac {2L^{2}}{mr^{5}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}+{\frac {L^{2}}{mr^{4}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}$

Esta ecuación se vuelve cuasilineal al realizar el cambio de variables.${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}}$y multiplicando ambos lados por${\displaystyle {\frac {mr^{2}}{L^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {du}{d\theta }}={\frac {-1}{r^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}={\frac {2}{r^{3}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}$

Después de la sustitución y el reordenamiento:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)}$

Para una ley de fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, como el potencial gravitatorio o electrostático , el potencial escalar se puede escribir de la siguiente manera:

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {k}{r}}=ku}$

La órbita${\displaystyle u(\theta )}$puede derivarse de la ecuación general

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)=-{\frac {km}{L^{2}}}}$

cuya solución es la constante${\displaystyle -{\frac {km}{L^{2}}}}$más una sinusoide simple

${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}=-{\frac {km}{L^{2}}}\left[1+e\cos(\theta -\theta _{0})\right]}$

dónde${\displaystyle e}$(la excentricidad ) y${\displaystyle \theta _{0}}$(el desfase ) son constantes de integración.

Esta es la fórmula general para una sección cónica que tiene un foco en el origen; ${\displaystyle e=0}$corresponde a un círculo ,${\displaystyle e<1}$corresponde a una elipse,${\displaystyle e=1}$corresponde a una parábola y${\displaystyle e>1}$corresponde a una hipérbola . La excentricidad${\displaystyle e}$está relacionado con la energía total${\displaystyle E}$(véase el vector de Laplace-Runge-Lenz )

${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{k^{2}m}}}}}$

La comparación de estas fórmulas muestra que${\displaystyle E<0}$corresponde a una elipse (todas las soluciones que son órbitas cerradas son elipses),${\displaystyle E=0}$corresponde a una parábola y${\displaystyle E>0}$corresponde a una hipérbola . En particular,${\displaystyle E=-{\frac {k^{2}m}{2L^{2}}}}$para órbitas perfectamente circulares (la fuerza central es exactamente igual a la fuerza centrípeta requerida , que determina la velocidad angular requerida para un radio circular dado).

Para una fuerza repulsiva ( k  >  0) solo se aplica e  >  1.