Desigualdad de Khintchine

La desigualdad de Khintchine es un resultado de probabilidad , también utilizado frecuentemente en análisis, que acota la esperanza de una suma ponderada de variables aleatorias de Rademacher con pesos sumables al cuadrado . Recibe su nombre de Aleksandr Khinchin y se escribe de diversas maneras en el alfabeto latino.

Afirma que para cada${\displaystyle p\in (0,\infty)}$existen constantes${\displaystyle A_{p},B_{p}>0}$dependiendo únicamente de${\displaystyle p}$de tal manera que para cada secuencia${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots )\in \ell ^{2}}$y variables aleatorias iid de Rademacher${\displaystyle \epsilon _{1},\epsilon _{2},\dots }$,

${\displaystyle A_{p}\leq {\frac {\mathbb {E} \left[\left|\sum _{n=1}^{\infty }\epsilon _{n}x_{n}\right|^{p}\right]^{1/p}}{\|x\|_{2}}}\leq B_{p}.}$

Como caso particular, considere${\displaystyle N}$números complejos${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{N}\in \mathbb {C} }$, que pueden representarse como vectores en un plano. Ahora, muestrea${\displaystyle N}$señales aleatorias${\displaystyle \epsilon _{1},\dots ,\epsilon _{N}\in \{-1,+1\}}$, con igual probabilidad independiente. La desigualdad establece que$${\displaystyle {\Big |}\sum _{i}\epsilon _{i}x_{i}{\Big |}\approx {\sqrt {|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{N}|^{2}}}}$$ con un margen de error limitado.

Dejar${\displaystyle \{\varepsilon _ {n}\}_ {n=1}^{N}}$sean variables aleatorias i.i.d. con${\displaystyle P(\varepsilon _ {n}=\pm 1)={\frac {1}{2}}}$para${\displaystyle n=1,\ldots ,N}$, es decir, una secuencia con distribución de Rademacher . Sea${\displaystyle 0<p<\infty }$y dejar${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}\in \mathbb {C} }$. Entonces

${\displaystyle A_{p}\left(\sum _{n=1}^{N}|x_{n}|^{2}\right)^{1/2}\leq \left(\operatorname {E} \left|\sum _{n=1}^{N}\varepsilon _{n}x_{n}\right|^{p}\right)^{1/p}\leq B_{p}\left(\sum _{n=1}^{N}|x_{n}|^{2}\right)^{1/2}}$

para algunas constantes${\displaystyle A_{p},B_{p}>0}$dependiendo únicamente de${\displaystyle p}$(véase Valor esperado para la notación). De forma más concisa,$${\displaystyle \left(\operatorname {E} \left|\sum _{n=1}^{N}\varepsilon _{n}x_{n}\right|^{p}\right)^{1/p}\in [A_{p},B_{p}]}$$para cualquier secuencia${\displaystyle x}$con unidad${\displaystyle \ell ^{2}}$norma.

Los valores precisos de las constantes${\displaystyle A_{p},B_{p}}$fueron hallados por Haagerup (Ref. 2; véase la Ref. 3 para una demostración más sencilla). Es sencillo comprobar que${\displaystyle A_{p}=1}$cuando${\displaystyle p\geq 2}$, y${\displaystyle B_{p}=1}$cuando${\displaystyle 0<p\leq 2}$.

Haagerup descubrió que

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{p}&={\begin{casos}2^{1/2-1/p}&0<p\leq p_{0},\\2^{1/2}(\Gamma ((p+1)/2)/{\sqrt {\pi }})^{1/p}&p_{0}<p<2\\1&2\leq p<\infty \end{cases}}\\&{\text{and}}\\B_{p}&={\begin{cases}1&0<p\leq 2\\2^{1/2}(\Gamma ((p+1)/2)/{\sqrt {\pi }})^{1/p}&2<p<\infty \end{cases}},\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle p_{0}\approx 1.847}$y${\displaystyle \Gamma }$es la función Gamma . Cabe destacar en particular que${\displaystyle B_{p}}$coincide exactamente con los momentos de una distribución normal .

Los usos de esta desigualdad no se limitan a aplicaciones en teoría de la probabilidad . Un ejemplo de su uso en análisis es el siguiente: si hacemos${\displaystyle T}$sea ​​un operador lineal entre dos espacios L ^p${\displaystyle L^{p}(X,\mu )}$y${\displaystyle L^{p}(Y,\nu )}$,${\displaystyle 1<p<\infty }$, con norma acotada${\displaystyle \|T\|<\infty }$, entonces se puede usar la desigualdad de Khintchine para demostrar que

${\displaystyle \left\|\left(\sum _{n=1}^{N}|Tf_{n}|^{2}\right)^{1/2}\right\|_{L^{p}(Y,\nu )}\leq C_{p}\left\|\left(\sum _{n=1}^{N}|f_{n}|^{2}\right)^{1/2}\right\|_{L^{p}(X,\mu )}}$

por alguna constante${\displaystyle C_{p}>0}$dependiendo únicamente de${\displaystyle p}$y${\displaystyle \|T\|}$. ^{[ 1 ]}

Para el caso de variables aleatorias de Rademacher , Pawel Hitczenko demostró ^{[ 2 ]} que la versión más precisa es:

${\displaystyle A\left({\sqrt {p}}\left(\sum _{n=b+1}^{N}x_{n}^{2}\right)^{1/2}+\sum _{n=1}^{b}x_{n}\right)\leq \left(\operatorname {E} \left|\sum _{n=1}^{N}\varepsilon _{n}x_{n}\right|^{p}\right)^{1/p}\leq B\left({\sqrt {p}}\left(\sum _{n=b+1}^{N}x_{n}^{2}\right)^{1/2}+\sum _{n=1}^{b}x_{n}\right)}$

dónde${\displaystyle b=\lfloor p\rfloor }$, y${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son constantes universales independientes de${\displaystyle p}$.

Aquí asumimos que el${\displaystyle x_{i}}$son no negativos y no crecientes.

• Desigualdad de Marcinkiewicz-Zygmund
• Desigualdad de Burkholder-Davis-Gundy

1. Thomas H. Wolff , «Lecturas sobre análisis armónico». Sociedad Matemática Americana, Serie de Conferencias Universitarias, vol. 29, 2003. ISBN 0-8218-3449-5
2. Uffe Haagerup, "Las mejores constantes en la desigualdad de Khintchine", Studia Math. 70 (1981), n.º 3, 231 – 283 (1982).
3. Fedor Nazarov y Anatoliy Podkorytov, "Ball, Haagerup y funciones de distribución", Análisis complejo, operadores y temas relacionados, 247 – 267, Oper. Theory Adv. Appl., 113, Birkhäuser, Basilea, 2000.