Rotador pateado

Las ecuaciones de movimiento del rotador golpeado escriben$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}={\frac {p}{I}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \theta }}=K\sin \theta \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left({\frac {t}{T}}-n\right)}$$Estas ecuaciones muestran que entre dos patadas consecutivas, el rotador simplemente se mueve libremente: el momento${\displaystyle p}$se conserva y la posición angular crece linealmente en el tiempo. Por otro lado, durante cada patada el momento salta abruptamente en una cantidad${\displaystyle KT\sin \theta }$, dónde${\displaystyle \theta }$es la posición angular cerca del golpe. La dinámica del rotador golpeado puede describirse mediante el mapa discreto ^{[ 1 ].}$${\displaystyle p_{n+1}=p_{n}+KT\sin \theta _{n}\quad {\text{and}}\quad \theta _{n+1}=\theta _{n}+{\frac {T}{I}}p_{n+1}}$$dónde${\displaystyle \theta _{n}}$y${\displaystyle p_{n}}$son las coordenadas canónicas en el tiempo${\displaystyle t=nT^{-}}$, justo antes del${\displaystyle n}$-th patada. Por lo general, es más conveniente introducir un impulso adimensional.${\textstyle p\rightarrow p/{\frac {I}{T}}}$, tiempo${\textstyle t\rightarrow t/T}$y fuerza de patada${\textstyle K\rightarrow K/{\frac {I}{T^{2}}}}$para reducir la dinámica al mapa de un solo parámetro$${\displaystyle p_{n+1}=p_{n}+K\sin \theta _{n}\quad {\text{and}}\quad \theta _{n+1}=\theta _{n}+p_{n+1}}$$conocido como mapa estándar de Chirikov , con la salvedad de que${\displaystyle p_{n}}$no es periódico como en el mapa estándar. Sin embargo, se puede ver directamente que dos rotadores con la misma posición angular inicial${\displaystyle \theta _{0}}$pero cambió el impulso adimensional${\displaystyle p_{0}}$y${\textstyle p_{0}+2\pi l}$(con${\displaystyle l}$un entero arbitrario) tendrá la misma dinámica estroboscópica exacta, pero con un momento adimensional desplazado en cualquier momento por${\textstyle 2\pi l}$(Por eso, los retratos de fase estroboscópicos del rotador impulsado suelen mostrarse en una sola celda de momento).${\textstyle p\in [-\pi ,\pi ]}$).

El rotador pateado es un modelo prototipo utilizado para ilustrar la transición de la integrabilidad al caos en sistemas hamiltonianos y, en particular, el teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser . En el límite${\displaystyle K=0}$, el sistema describe el movimiento libre del rotador, el momento se conserva (el sistema es integrable ) y las trayectorias correspondientes son líneas rectas en el${\displaystyle (\theta ,p)}$plano (espacio de fases), es decir, toros. Para perturbaciones pequeñas, pero no nulas${\displaystyle K}$, comienzan a desarrollarse inestabilidades y caos. Solo las órbitas cuasiperiódicas (representadas por toros invariantes en el espacio de fases) permanecen estables, mientras que otras órbitas se vuelven inestables. Para valores mayores${\displaystyle K}$, los toros invariantes son finalmente destruidos por la perturbación. Para el valor${\displaystyle K=K_{c}\approx 0.971635\dots }$, los últimos toros invariantes que conectan${\displaystyle \theta =-\pi }$y${\displaystyle \theta =\pi }$en el espacio de fases se destruye.

Para${\displaystyle K>K_{c}}$, las órbitas inestables caóticas ya no están restringidas por toros invariantes en la dirección del momento y pueden explorar todo el espacio de fases. Para${\displaystyle K\gg K_{c}}$La partícula, después de cada impulso, se desplaza típicamente una gran distancia, lo que modifica fuertemente la amplitud y el signo del siguiente impulso. Después de un tiempo suficientemente prolongado, la partícula ha sido sometida a una serie de impulsos con amplitudes cuasialeatorias. Este movimiento cuasialeatorio es responsable de un proceso de difusión en la dirección del momento.${\displaystyle \langle (\Delta p_{n})^{2}\rangle =2D_{\text{cl}}n}$(donde el promedio se calcula sobre diferentes condiciones iniciales).

Más precisamente, después${\displaystyle n}$patadas, el impulso${\displaystyle p_{n}}$de una partícula con momento inicial${\displaystyle p_{0}}$escribe ${\textstyle p_{n}=p_{0}+K\sum _{i=0}^{n-1}\sin \theta _{i}}$^{[ 2 ]} (obtenido mediante iteración)${\displaystyle n}$veces el mapa estándar). Suponiendo que los golpes son aleatorios y no están correlacionados en el tiempo, la propagación de la distribución del momento escribe$${\displaystyle \left\langle {(\Delta p)}^{2}\right\rangle =\left\langle {(p_{n}-p_{0})}^{2}\right\rangle =K^{2}\sum _{i=0}^{n-1}\left\langle {\sin }^{2}\theta _{i}\right\rangle +K^{2}\sum _{i\neq j}^{}\left\langle \sin \theta _{i}\sin \theta _{j}\right\rangle \approx K^{2}\sum _{i=0}^{n-1}\left\langle {\sin }^{2}\theta _{i}\right\rangle ={\frac {1}{2}}K^{2}n}$$El coeficiente de difusión clásico en la dirección del momento viene dado entonces, en primera aproximación, por${\textstyle D_{\text{cl}}={\frac {K^{2}}{4}}}$. Las correcciones provenientes de términos de correlación descuidados pueden tomarse en cuenta, lo que lleva a la expresión mejorada ^{[ 3 ].}$${\displaystyle D_{\text{cl}}={\frac {K^{2}}{4}}[1-2J_{2}(K)+2J_{2}^{2}(K)]}$$dónde${\textstyle J_{2}}$es la función de Bessel de primera especie.

La dinámica del rotador cuántico impulsado (con función de onda)${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$) se rige por la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle =\left[{\frac {{\hat {p}}^{2}}{2I}}+K\cos {\hat {\theta }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left({\frac {t}{T}}-n\right)\right]|\psi (t)\rangle }$

con${\displaystyle [{\hat {\theta }},{\hat {p}}]=i\hbar }$(o equivalentemente${\textstyle \langle \theta |{\hat {p}}|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}}$).

En cuanto a la dinámica clásica, se puede adoptar un punto de vista estroboscópico introduciendo el propagador de tiempo durante un período de impulso.${\displaystyle {\hat {U}}}$(ese es el operador de Floquet ) de modo que${\displaystyle |\psi (t+T)\rangle ={\hat {U}}|\psi (t)\rangle }$. Tras una cuidadosa integración de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, se encuentra que${\displaystyle {\hat {U}}}$se puede escribir como el producto de dos operadores$${\displaystyle {\hat {U}}=\exp \left[-i{\frac {{\hat {p}}^{2}T}{2I\hbar }}\right]\exp \left[-i{\frac {KT}{\hbar }}\cos {\hat {\theta }}\right]}$$Recuperamos la interpretación clásica: la dinámica del rotor cuántico impulsado entre dos impulsos es la sucesión de una propagación libre durante un tiempo${\displaystyle T}$seguido de una patada corta. Esta es la expresión simple del operador de Floquet${\displaystyle {\hat {U}}}$(un producto de dos operadores, uno diagonal en la base de momento, el otro diagonal en la base de posición angular) permite resolver numéricamente de forma sencilla la evolución de una función de onda dada utilizando el método de pasos divididos .

Debido a las condiciones de contorno periódicas en${\displaystyle \theta =\pm \pi }$cualquier función de onda${\displaystyle |\psi \rangle }$puede expandirse en una base de momento discreto${\textstyle |l\rangle }$(con${\displaystyle p=l\hbar }$,${\displaystyle l}$entero) ver teorema de Bloch ), de modo que

${\displaystyle \langle \theta |\psi \rangle =\sum _{l=-\infty }^{\infty }\langle l|\psi \rangle \mathrm {e} ^{il\theta }\Leftrightarrow \langle l|\psi \rangle =\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\mathrm {d} x}{2\pi }}\langle \theta |\psi \rangle \mathrm {e} ^{-il\theta }}$

Utilizando esta relación con la expresión anterior de${\displaystyle {\hat {U}}}$, encontramos la relación de recurrencia ^{[ 4 ]}$${\displaystyle \langle l|\psi (t+T)\rangle =\exp \left(-i{\frac {l^{2}\hbar T}{2I}}\right)\sum _{m=-\infty }^{\infty }(-i)^{m-l}J_{m-l}\left({\frac {KT}{\hbar }}\right)\langle m|\psi (t)\rangle }$$dónde${\displaystyle \textstyle {J}_{n}}$es una función de Bessel de primer tipo.

Demostración

De hecho, tenemos$${\displaystyle \langle l|\psi (t+T)\rangle =\langle l|{\hat {U}}|\psi (t)\rangle =\exp \left(-i{\frac {l^{2}\hbar T}{2I}}\right)\langle l|\exp \left(-i{\frac {KT\cos {\hat {\theta }}}{\hbar }}\right)|\psi (t)\rangle }$$$${\displaystyle \langle l|\psi (t+T)\rangle =\exp \left(-i{\frac {l^{2}\hbar T}{2I}}\right)\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{2\pi }}\mathrm {e} ^{-il\theta }\exp \left(-i{\frac {KT\cos {\hat {\theta }}}{\hbar }}\right)\langle \theta |\psi (t)\rangle }$$$${\displaystyle \langle l|\psi (t+T)\rangle =\exp \left(-i{\frac {l^{2}\hbar T}{2I}}\right)\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{2\pi }}\mathrm {e} ^{-il\theta }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-i)^{n}J_{n}\left({\frac {KT}{\hbar }}\right)\mathrm {e} ^{-in\theta }\sum _{m=-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{im\theta }\langle m|\psi (t)\rangle }$$$${\displaystyle \langle l|\psi (t+T)\rangle =\exp \left(-i{\frac {l^{2}\hbar T}{2I}}\right)\sum _{n,m=-\infty }^{\infty }(-i)^{n}J_{n}\left({\frac {KT}{\hbar }}\right)\left[\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{2\pi }}\mathrm {e} ^{i(m-l-n)\theta }\right]\langle m|\psi (t)\rangle }$$$${\displaystyle \langle l|\psi (t+T)\rangle =\exp \left(-i{\frac {l^{2}\hbar T}{2I}}\right)\sum _{n,m=-\infty }^{\infty }(-i)^{n}J_{n}\left({\frac {KT}{\hbar }}\right){\frac {\sin([m-l-n])\pi }{(m-l-n)\pi }}\langle m|\psi (t)\rangle }$$De esta forma recuperamos el resultado, conservando solo términos que no se desvanecen.${\displaystyle m-l-n=0}$en la suma doble.

Se ha descubierto ^{[ 1 ]} que la difusión clásica se suprime en el rotador cuántico impulsado. Posteriormente se comprendió ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} que esto es una manifestación de un efecto de localización dinámica cuántica que es paralelo a la localización de Anderson . Existe un argumento general ^{[ 9 ] [ 10 ]} que conduce a la siguiente estimación para el tiempo de ruptura del comportamiento difusivo.

${\displaystyle t^{*}\ \approx \ D_{cl}/\hbar ^{2},}$

dónde${\displaystyle D_{cl}}$es el coeficiente de difusión clásico. Por lo tanto, la escala de localización asociada en el momento es${\displaystyle \textstyle {\sqrt {D_{cl}t^{*}}}}$.

Las primeras realizaciones experimentales del rotador cuántico impulsado fueron logradas por el grupo de Mark G. Raizen ^{[ 18 ] [ 19 ]} en 1995, seguido posteriormente por el grupo de Auckland, ^{[ 20 ]} y fomentaron un renovado interés en el análisis teórico. En este tipo de experimento, una muestra de átomos fríos proporcionada por una trampa magnetoóptica interactúa con una onda estacionaria pulsada de luz. Al estar la luz desintonizada con respecto a las transiciones atómicas, los átomos experimentan una fuerza conservativa espacialmente periódica . Por lo tanto, la dependencia angular se reemplaza por una dependencia de la posición en el enfoque experimental. El enfriamiento submiliKelvin es necesario para obtener efectos cuánticos: debido al principio de incertidumbre de Heisenberg , la longitud de onda de De Broglie, es decir, la longitud de onda atómica, puede llegar a ser comparable a la longitud de onda de la luz. Para más información, véase ^{[ 21 ]} . Gracias a esta técnica, se han investigado varios fenómenos, entre los que destacan:

• Trinquete cuántico; ^{[ 22 ]}
• La transición de Anderson en 3D. ^{[ 23 ]}