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Articulo de referencia

Ecuaciones cinemáticas

Las ecuaciones cinemáticas son las ecuaciones de restricción de un sistema mecánico, como un manipulador robótico , que definen cómo el movimiento de entrada en una o más articu...

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Las ecuaciones cinemáticas son las ecuaciones de restricción de un sistema mecánico, como un manipulador robótico , que definen cómo el movimiento de entrada en una o más articulaciones especifica la configuración del dispositivo para lograr una posición de tarea o la ubicación del efector final. [ 1 ] [ 2 ] Las ecuaciones cinemáticas se utilizan para analizar y diseñar sistemas articulados que van desde mecanismos de cuatro barras hasta robots seriales y paralelos.

Las ecuaciones cinemáticas son ecuaciones de restricción que caracterizan la configuración geométrica de un sistema mecánico articulado. Por lo tanto, estas ecuaciones suponen que los eslabones son rígidos y que las articulaciones permiten una rotación o traslación pura. Este tipo de ecuaciones de restricción se conocen como restricciones holonómicas en el estudio de la dinámica de sistemas multicuerpo.

ecuaciones de bucle

Las ecuaciones cinemáticas de un sistema mecánico se formulan como una secuencia de transformaciones rígidas a lo largo de los eslabones y alrededor de las articulaciones. El principio de que la secuencia de transformaciones en un bucle debe volver a la identidad da lugar a las llamadas ecuaciones de bucle. Un conjunto independiente de ecuaciones cinemáticas se obtiene a partir de los distintos conjuntos de ecuaciones de bucle disponibles en el sistema mecánico.

Transformaciones

En 1955, Jacques Denavit y Richard Hartenberg introdujeron una convención para la definición de las matrices de articulación [Z] y las matrices de enlace [X] para estandarizar los sistemas de coordenadas para los enlaces espaciales. [ 3 ] [ 4 ] Esta convención posiciona el sistema de coordenadas de la articulación de manera que consista en un desplazamiento helicoidal a lo largo del eje Z.

[Zi]=[porque⁡θi−pecado⁡θi00pecado⁡θiporque⁡θi00001di0001],{\displaystyle [Z_{i}]={\begin{bmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}&0&0\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}&0&0\\0&0&1&d_{i}\\0&0&0&1\end{bmatrix}},}

y posiciona el marco de enlace de manera que consista en un desplazamiento de tornillo a lo largo del eje X,

[incógnitai]=[100ai,i+10porque⁡αi,i+1−pecado⁡αi,i+100pecado⁡αi,i+1porque⁡αi,i+100001].{\displaystyle [X_{i}]={\begin{bmatrix}1&0&0&a_{i,i+1}\\0&\cos \alpha _{i,i+1}&-\sin \alpha _{i,i+1}&0\\0&\sin \alpha _{i,i+1}&\cos \alpha _{i,i+1}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}

Las ecuaciones cinemáticas se obtienen utilizando una transformación rígida [Z] para caracterizar el movimiento relativo permitido en cada articulación y una transformación rígida separada [X] para definir las dimensiones de cada eslabón.

El resultado es una secuencia de transformaciones rígidas que alternan transformaciones de articulaciones y enlaces desde la base de la cadena, alrededor de un bucle, y de vuelta a la base para obtener la ecuación del bucle,

[Z1][incógnita1][Z2][incógnita2]…[incógnitanorte−1][Znorte]=[I].{\displaystyle [Z_{1}][X_{1}][Z_{2}][X_{2}]\ldots [X_{n-1}][Z_{n}]=[I].\!}

La serie de transformaciones equivale a la matriz identidad porque regresan al inicio del bucle.

Cadenas en serie

Las ecuaciones cinemáticas para un robot de cadena serial se obtienen formulando las ecuaciones de bucle en términos de una transformación [T] desde la base hasta el efector final, que se iguala a la serie de transformaciones a lo largo del robot. El resultado es:

[T]=[Z1][incógnita1][Z2][incógnita2]…[incógnitanorte−1][Znorte],{\displaystyle [T]=[Z_{1}][X_{1}][Z_{2}][X_{2}]\ldots [X_{n-1}][Z_{n}],\!}

Estas ecuaciones se denominan ecuaciones cinemáticas de la cadena en serie.

Cadenas paralelas

Las ecuaciones cinemáticas para una cadena paralela, o robot paralelo, formado por un efector final soportado por múltiples cadenas seriales se obtienen a partir de las ecuaciones cinemáticas de cada una de las cadenas seriales de soporte. Supongamos que m cadenas seriales soportan el efector final, entonces la transformación de la base al efector final se define mediante m ecuaciones,

[T]=[Z1,j][incógnita1,j][Z2,j][incógnita2,j]…[incógnitanorte−1,j][Znorte,j],j=1,…,metro.{\displaystyle [T]=[Z_{1,j}][X_{1,j}][Z_{2,j}][X_{2,j}]\ldots [X_{n-1,j}][Z_{n,j}],\quad j=1,\ldots ,m.\!}

Estas ecuaciones son las ecuaciones cinemáticas de la cadena paralela.

Ecuaciones cinemáticas para aceleración uniforme

En física , cuando la aceleración de un objeto es uniforme , podemos derivar tres ecuaciones cinemáticas ,Δincógnita=vit+12at2=12ΔvtΔv=atΔv2=2a⋅Δincógnita,{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \mathbf {x} &=\mathbf {v} _{\mathrm {i} }t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}&={\tfrac {1}{2}}\Delta \mathbf {v} t\\\Delta \mathbf {v} &=\mathbf {a} t\\\Delta v^{2}&=2\mathbf {a\cdot } \Delta \mathbf {x} ,\end{alineado}}}dóndeΔincógnita{\displaystyle \Delta \mathbf {x} }es el cambio de posición (o desplazamiento )Δv{\displaystyle \Delta \mathbf {v} }es el cambio de velocidad ,a{\displaystyle \mathbf {a} }es la aceleración uniforme,t{\displaystyle t}es el tiempo transcurrido,Δv2=vF2−vi2{\displaystyle \Delta v^{2}=v_{\mathrm {f} }^{2}-v_{\mathrm {i} }^{2}}es el cambio en el cuadrado de la velocidad.

Uso en simulación

Al simular datos, podemos calcular el estado sucesivo del objeto como,incógnitanorte+1=incógnitanorte+vnortet+12at2vnorte+1=vnorte+at.{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} _{n+1}&=\mathbf {x} _{n}+\mathbf {v} _{n}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}\\\mathbf {v} _{n+1}&=\mathbf {v} _{n}+\mathbf {a} t\end{alineado}}.}En programación, esto se realiza a menudo con el algoritmo,incógnita←incógnita+vt+12at2v←v+at.{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} &\leftarrow \mathbf {x} +\mathbf {v} t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}\\\mathbf {v} &\leftarrow \mathbf {v} +\mathbf {a} t\end{aligned}}.}Podemos usar estas ecuaciones cinemáticas junto con una aceleración promedio predefinida para predecir el siguiente estado del objeto. Podemos escribir esto en C como:

const int d ; # dimensionalidad predefinida del problema int unif_acc_state_update ( * float x , * float v , * float a , float t ) { # Precondición: x, v y a son arreglos de dimensión d for ( int i = 0 ; i < d ; i ++ ) { x [ i ] += v [ i ] * t + 0.5 * a [ i ] * t ** 2 ; v [ i ] + = a [ i ] * t ; } return 0 ; }

Cinemática directa

Las ecuaciones cinemáticas de los robots seriales y paralelos pueden verse como la relación entre parámetros, como los ángulos de las articulaciones, que están bajo el control de los actuadores, y la posición y orientación [T] del efector final.

Desde este punto de vista, las ecuaciones cinemáticas pueden utilizarse de dos maneras diferentes. La primera, denominada cinemática directa, utiliza valores específicos para los parámetros de las articulaciones con el fin de calcular la posición y orientación del efector final. La segunda, denominada cinemática inversa, utiliza la posición y orientación del efector final para calcular los valores de los parámetros de las articulaciones.

Sorprendentemente, mientras que la cinemática directa de una cadena en serie es un cálculo directo de una sola ecuación matricial, la cinemática directa de una cadena en paralelo requiere la solución simultánea de múltiples ecuaciones matriciales, lo que supone un desafío importante.

Referencias

  1. ↑ Paul, Richard (1981). Manipuladores robóticos: matemáticas, programación y control  : el control informático de manipuladores robóticos . MIT Press, Cambridge, Massachusetts. ISBN 978-0-262-16082-7.
  2. ↑ JM McCarthy, 1990, Introducción a la cinemática teórica, MIT Press, Cambridge, Massachusetts.
  3. ↑ J. Denavit y RS Hartenberg, 1955, "Una notación cinemática para mecanismos de pares inferiores basada en matrices." Trans ASME J. Appl. Mech, 23:215–221.
  4. ↑ Hartenberg, RS y J. Denavit. Síntesis cinemática de mecanismos articulados. Nueva York: McGraw-Hill, 1964. Disponible en línea a través de KMODDL.