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Mecánica clásica

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Animación de la velocidad orbital y la aceleración centrípeta
Diagrama del movimiento orbital de un satélite alrededor de la Tierra, que muestra los vectores de velocidad y aceleración (fuerza) perpendiculares, representados mediante una interpretación clásica.

En física , la mecánica clásica es una teoría que describe el efecto de las fuerzas sobre el movimiento de los objetos macroscópicos y la materia en estado sólido , sin tener en cuenta los efectos cuánticos y, a menudo, sin incorporar tampoco los efectos relativistas .

Se utiliza para describir el movimiento de objetos como proyectiles , partes de maquinaria , naves espaciales , planetas , estrellas , galaxias , sólidos deformables , fluidos , macromoléculas y otros objetos. El desarrollo de la mecánica clásica implicó un cambio sustancial en los métodos y la filosofía de la física. [ 1 ] El calificativo clásico distingue este tipo de mecánica de los nuevos métodos desarrollados después de las revoluciones en la física de principios del siglo XX que revelaron limitaciones en la mecánica clásica. [ 2 ] : 2 [ 3 ] : 2 Algunas fuentes modernas [ 4 ] incluyen la mecánica relativista en la mecánica clásica, como representación del tema en su forma más desarrollada y precisa.

La formulación más antigua de la mecánica clásica se conoce a menudo como mecánica newtoniana . Consiste en los conceptos físicos basados ​​en las obras fundamentales del siglo XVII de Sir Isaac Newton y en los métodos matemáticos inventados por Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz , Leonhard Euler y otros para describir el movimiento de los cuerpos bajo la influencia de fuerzas . Posteriormente, Euler, Joseph-Louis Lagrange , William Rowan Hamilton y otros desarrollaron métodos basados ​​en la energía , lo que condujo al desarrollo de la mecánica analítica (que incluye la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana ). Estos avances, realizados principalmente en los siglos XVIII y XIX, se extendieron más allá de los trabajos anteriores y, con algunas modificaciones, se utilizan en todas las áreas de la física moderna.

Si se conoce el estado actual de un objeto que obedece las leyes de la mecánica clásica, es posible determinar cómo se moverá en el futuro y cómo se ha movido en el pasado. La teoría del caos demuestra que las predicciones a largo plazo de la mecánica clásica no son fiables. La mecánica clásica proporciona resultados precisos al estudiar objetos que no son extremadamente masivos y cuyas velocidades no se aproximan a la velocidad de la luz . Con objetos del tamaño aproximado del diámetro de un átomo, se hace necesario utilizar la mecánica cuántica . Para describir velocidades cercanas a la velocidad de la luz, se requiere la relatividad especial . En los casos en que los objetos son extremadamente masivos, se aplica la relatividad general .

Sucursales

División tradicional

La mecánica clásica se dividió tradicionalmente en tres ramas principales. La estática es la rama de la mecánica clásica que se ocupa del análisis de la fuerza y ​​el torque que actúan sobre un sistema físico que no experimenta aceleración, sino que está en equilibrio con su entorno. [ 5 ] La cinemática describe el movimiento de puntos, cuerpos (objetos) y sistemas de cuerpos (grupos de objetos) sin considerar las fuerzas que los hacen moverse. [ 6 ] [ 7 ] [ 5 ] La cinemática, como campo de estudio, a menudo se denomina "geometría del movimiento" y ocasionalmente se considera una rama de las matemáticas . [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] La dinámica va más allá de simplemente describir el comportamiento de los objetos y también considera las fuerzas que lo explican. Algunos autores (por ejemplo, Greenwood (1997) [ 11 ] ) incluyen la relatividad especial dentro de la dinámica clásica.

Fuerzas frente a energía

Otra división se basa en la elección del formalismo matemático. La mecánica clásica puede presentarse matemáticamente de diversas maneras. El contenido físico de estas formulaciones es el mismo, pero ofrecen diferentes perspectivas y facilitan distintos tipos de cálculos. Si bien el término «mecánica newtoniana» se usa a veces como sinónimo de física clásica no relativista, también puede referirse a un formalismo particular basado en las leyes del movimiento de Newton . En este sentido, la mecánica newtoniana enfatiza la fuerza como una magnitud vectorial . [ 12 ]

En contraste, la mecánica analítica utiliza propiedades escalares del movimiento que representan el sistema en su conjunto, generalmente su energía cinética y energía potencial . Las ecuaciones de movimiento se derivan de la magnitud escalar mediante algún principio subyacente sobre la variación de la misma . Dos ramas dominantes de la mecánica analítica son la mecánica lagrangiana , que utiliza coordenadas generalizadas y velocidades generalizadas correspondientes en el espacio del fibrado tangente (el fibrado tangente del espacio de configuración y a veces llamado "espacio de estados"), y la mecánica hamiltoniana , que utiliza coordenadas y momentos correspondientes en el espacio de fases (el fibrado cotangente del espacio de configuración). Ambas formulaciones son equivalentes mediante una transformación de Legendre sobre las coordenadas, velocidades y momentos generalizados; por lo tanto, ambas contienen la misma información para describir la dinámica de un sistema. Existen otras formulaciones como la teoría de Hamilton-Jacobi , la mecánica de Routh y la ecuación de movimiento de Appell . Todas las ecuaciones de movimiento para partículas y campos, en cualquier formalismo, pueden derivarse del resultado ampliamente aplicable llamado principio de mínima acción . Uno de los resultados es el teorema de Noether , una afirmación que relaciona las leyes de conservación con sus simetrías asociadas .

Por región de aplicación

Alternativamente, se puede realizar una división por región de aplicación:

Descripción de los objetos y su movimiento.

Diagrama del movimiento parabólico de un proyectil
El análisis del movimiento de proyectiles forma parte de la mecánica clásica.

La mecánica clásica modela los objetos del mundo real como partículas puntuales , es decir, objetos de tamaño despreciable. La mecánica clásica describe los movimientos de objetos extendidos no puntuales considerando que estos objetos son agregados de partículas rígidamente conectadas. [ 13 ] : 1

En la forma newtoniana de la mecánica clásica, el movimiento de una partícula puntual está determinado por un pequeño número de parámetros : su posición, masa y las fuerzas que actúan sobre ella. [ 13 ] : 3 Las leyes de Euler proporcionan extensiones a las leyes de Newton en este ámbito. Los conceptos de momento angular se basan en el mismo cálculo utilizado para describir el movimiento unidimensional. La ecuación del cohete extiende la noción de tasa de cambio del momento de un objeto para incluir los efectos de la "pérdida de masa" del mismo. (Estas generalizaciones/extensiones se derivan de las leyes de Newton, por ejemplo, descomponiendo un cuerpo sólido en un conjunto de puntos).

En realidad, los objetos que la mecánica clásica puede describir siempre tienen un tamaño distinto de cero . (El comportamiento de partículas muy pequeñas, como el electrón , se describe con mayor precisión mediante la mecánica cuántica ). Los objetos con tamaño distinto de cero presentan un comportamiento más complejo que las partículas puntuales hipotéticas, debido a los grados de libertad adicionales ; por ejemplo, una pelota de béisbol puede girar mientras se mueve. Sin embargo, los resultados obtenidos con partículas puntuales pueden utilizarse para estudiar dichos objetos tratándolos como objetos compuestos , formados por un gran número de partículas puntuales que actúan colectivamente. El centro de masa de un objeto compuesto se comporta como una partícula puntual.

La mecánica clásica presupone que la materia y la energía poseen atributos definidos y cognoscibles, como la ubicación en el espacio y la velocidad. La mecánica no relativista también presupone que las fuerzas actúan instantáneamente (véase también Acción a distancia ).

Cinemática

La posición de una partícula puntual se define en relación con un sistema de coordenadas centrado en un punto de referencia fijo arbitrario en el espacio llamado origen O. Un sistema de coordenadas simple podría describir la posición de una partícula P con un vector representado por una flecha etiquetada como r que apunta desde el origen O hasta el punto P. En general, la partícula puntual no necesita estar estacionaria con respecto a O. En los casos en que P se mueve con respecto a O , r se define como una función de t , el tiempo . En la relatividad pre-Einstein (conocida como relatividad galileana ), el tiempo se considera absoluto, es decir, el intervalo de tiempo que se observa que transcurre entre cualquier par de eventos es el mismo para todos los observadores. [ 14 ] Además de basarse en el tiempo absoluto , la mecánica clásica asume la geometría euclidiana para la estructura del espacio. [ 15 ]

Velocidad y rapidez

La velocidad , o la tasa de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo, se define como la derivada de la posición con respecto al tiempo:

v=drdt{\displaystyle \mathbf {v} ={\mathrm {d} \mathbf {r} \over \mathrm {d} t}\,\!}.

En mecánica clásica, las velocidades son directamente aditivas y sustractivas. Por ejemplo, si un automóvil viaja hacia el este a 60  km/h y pasa a otro automóvil que viaja en la misma dirección a 50  km/h, el automóvil más lento percibe que el automóvil más rápido viaja hacia el este a 60 − 50 = 10 km/h . Sin embargo, desde la perspectiva del automóvil más rápido, el automóvil más lento se mueve 10  km/h hacia el oeste, lo que a menudo se denota como −10  km/h, donde el signo indica la dirección opuesta. Las velocidades son directamente aditivas como cantidades vectoriales ; deben tratarse mediante análisis vectorial .

Matemáticamente, si la velocidad del primer objeto en la discusión anterior se denota por el vector u = u d y la velocidad del segundo objeto por el vector v = v e , donde u es la rapidez del primer objeto, v es la rapidez del segundo objeto, y d y e son vectores unitarios en las direcciones de movimiento de cada objeto respectivamente, entonces la velocidad del primer objeto vista por el segundo objeto es:

tú′=tú−v.{\displaystyle \mathbf {u} '=\mathbf {u} -\mathbf {v} \,.}

De manera similar, el primer objeto percibe la velocidad del segundo objeto como:

v′=v−tú.{\displaystyle \mathbf {v'} =\mathbf {v} -\mathbf {u} \,.}

Cuando ambos objetos se mueven en la misma dirección, esta ecuación se puede simplificar a:

tú′=(tú−v)d.{\displaystyle \mathbf {u} '=(uv)\mathbf {d} \,.}

O bien, ignorando la dirección, la diferencia puede expresarse únicamente en términos de velocidad:

tú′=tú−v.{\displaystyle u'=uv\,.}

Aceleración

La aceleración , o tasa de cambio de la velocidad, es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo (la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo):

a=dvdt=d2rdt2.{\displaystyle \mathbf {a} ={\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}={\mathrm {d^{2}} \mathbf {r} \over \mathrm {d} t^{2}}.}

La aceleración representa el cambio de velocidad a lo largo del tiempo. La velocidad puede cambiar en magnitud, dirección o ambas. En ocasiones, una disminución en la magnitud de la velocidad " v " se denomina desaceleración , pero generalmente cualquier cambio en la velocidad a lo largo del tiempo, incluida la desaceleración, se denomina aceleración.

Marcos de referencia

Si bien la posición, la velocidad y la aceleración de una partícula pueden describirse con respecto a cualquier observador en cualquier estado de movimiento, la mecánica clásica presupone la existencia de una familia especial de sistemas de referencia en los que las leyes mecánicas de la naturaleza adoptan una forma comparativamente simple. Estos sistemas de referencia especiales se denominan sistemas inerciales . Un sistema inercial es un sistema de referencia idealizado dentro del cual un objeto con una fuerza neta cero actuando sobre él se mueve con una velocidad constante; es decir, está en reposo o se mueve uniformemente en línea recta. En un sistema inercial, la ley del movimiento de Newton,F=metroa{\displaystyle F=ma}, es válido. [ 3 ] : 4

Los sistemas de referencia no inerciales se aceleran en relación con otro sistema de referencia inercial. Un cuerpo que rota con respecto a un sistema de referencia inercial no es un sistema de referencia inercial. [ 3 ] : 105 Cuando se observan desde un sistema de referencia inercial, las partículas en el sistema de referencia no inercial parecen moverse de maneras que no se explican por las fuerzas de los campos existentes en el sistema de referencia. Por lo tanto, parece que hay otras fuerzas que entran en las ecuaciones de movimiento únicamente como resultado de la aceleración relativa. Estas fuerzas se denominan fuerzas ficticias , fuerzas de inercia o pseudofuerzas.

Consideremos dos sistemas de referencia S y S' . Para los observadores en cada uno de los sistemas de referencia, un evento tiene coordenadas espacio-temporales de ( x , y , z , t ) en el sistema S y ( x' , y' , z' , t' ) en el sistema S' . Suponiendo que el tiempo se mide igual en todos los sistemas de referencia, si requerimos que x = x' cuando t = 0 , entonces la relación entre las coordenadas espacio-temporales del mismo evento observado desde los sistemas de referencia S' y S , que se mueven a una velocidad relativa u en la dirección x , es:

incógnita′=incógnita−ttú,y′=y,z′=z,t′=t.{\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x-tu,\\y'&=y,\\z'&=z,\\t'&=t.\end{aligned}}}

Este conjunto de fórmulas define una transformación de grupo conocida como transformación galileana (o, informalmente, transformada galileana ). Este grupo es un caso límite del grupo de Poincaré utilizado en la relatividad especial . El caso límite se aplica cuando la velocidad u es muy pequeña en comparación con c , la velocidad de la luz .

Las transformaciones tienen las siguientes consecuencias:

  • v ′ = v − u (la velocidad v ′ de una partícula desde la perspectiva de S ′ es u menor que su velocidad v desde la perspectiva de S )
  • a ′ = a (la aceleración de una partícula es la misma en cualquier sistema de referencia inercial)
  • F ′ = F (la fuerza sobre una partícula es la misma en cualquier sistema de referencia inercial)
  • La velocidad de la luz no es una constante en la mecánica clásica, ni la posición especial que se le otorga a la velocidad de la luz en la mecánica relativista tiene un equivalente en la mecánica clásica.

Para algunos problemas, resulta conveniente utilizar coordenadas giratorias (sistemas de referencia). De este modo, se puede mantener una correspondencia con un sistema de referencia inercial adecuado, o bien introducir adicionalmente una fuerza centrífuga y una fuerza de Coriolis ficticias .

mecánica newtoniana

En física, una fuerza es cualquier acción que provoca un cambio en la velocidad de un objeto; es decir, que lo acelera. Una fuerza se origina dentro de un campo , como un campo electrostático (causado por cargas eléctricas estáticas), un campo electromagnético (causado por cargas en movimiento) o un campo gravitatorio (causado por la masa), entre otros.

Newton fue el primero en expresar matemáticamente la relación entre fuerza y ​​momento . Algunos físicos interpretan la segunda ley del movimiento de Newton como una definición de fuerza y ​​masa, mientras que otros la consideran un postulado fundamental, una ley de la naturaleza. [ 16 ] Ambas interpretaciones tienen las mismas consecuencias matemáticas, históricamente conocidas como la "segunda ley de Newton".

F=dpagdt=d(metrov)dt.{\displaystyle \mathbf {F} ={\mathrm {d} \mathbf {p} \over \mathrm {d} t}={\mathrm {d} (m\mathbf {v} ) \over \mathrm {d} t}.}

La cantidad m v se denomina momento ( canónico ) . La fuerza neta sobre una partícula es, por lo tanto, igual a la tasa de cambio del momento de la partícula con respecto al tiempo. Dado que la definición de aceleración es a = d v /d t , la segunda ley se puede escribir en la forma simplificada y más familiar:

F=metroa.{\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \,.}

Siempre que se conozca la fuerza que actúa sobre una partícula, la segunda ley de Newton es suficiente para describir su movimiento. Una vez que se dispone de relaciones independientes para cada fuerza que actúa sobre una partícula, estas pueden sustituirse en la segunda ley de Newton para obtener una ecuación diferencial ordinaria , que se denomina ecuación de movimiento .

Como ejemplo, supongamos que la fricción es la única fuerza que actúa sobre la partícula, y que puede modelarse como una función de la velocidad de la partícula, por ejemplo:

FR=−λv,{\displaystyle \mathbf {F} _ {\rm {R}}=-\lambda \mathbf {v} \,,}

donde λ es una constante positiva, el signo negativo indica que la fuerza es opuesta al sentido de la velocidad. Entonces la ecuación de movimiento es

−λv=metroa=metrodvdt.{\displaystyle -\lambda \mathbf {v} =m\mathbf {a} =m{\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}\,.}

Esto se puede integrar para obtener

v=v0mi−λt/metro{\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{0}e^{{-\lambda t}/{m}}}

donde v₀ es la velocidad inicial. Esto significa que la velocidad de esta partícula disminuye exponencialmente hasta cero con el paso del tiempo. En este caso, una perspectiva equivalente es que la energía cinética de la partícula es absorbida por la fricción (que la convierte en energía térmica de acuerdo con la conservación de la energía ), y la partícula se desacelera. Esta expresión puede integrarse para obtener la posición r de la partícula en función del tiempo.

Ilustración de cómo la fuerza de Lorentz no central debe tener en cuenta la dirección y los sistemas de referencia relativos para calcular el producto vectorial de vectores.

La tercera ley de Newton se puede utilizar para deducir las fuerzas que actúan sobre una partícula en un sistema cerrado. Si se sabe que la partícula A ejerce una fuerza F sobre otra partícula B, se deduce que B debe ejercer una fuerza de reacción igual y opuesta, −F, sobre A. Para fuerzas conservativas , esto significa que la integral de línea alrededor de un bucle cerrado es cero. La forma fuerte de la tercera ley de Newton requiere que F y −F actúen a lo largo de la línea que conecta A y B, y estas fuerzas se definen como fuerzas centrales . Sin embargo, las fuerzas centrales son una aproximación ya que los objetos que están en reposo solo están en reposo con respecto a otro. [ 17 ] Esta limitación de la tercera ley de Newton se puede demostrar utilizando la fuerza de Coulomb , donde las cargas deben permanecer estacionarias con respecto a un marco de referencia no acelerado. [ 18 ] Cuando se trata de fuerzas no centrales como la fuerza de Lorentz , se utiliza la forma débil de la tercera ley de Newton identificando la conservación del momento . Se pueden encontrar ejemplos de la forma débil de la tercera ley de Newton para fuerzas magnéticas como la fuerza de Lorentz al analizar el rotacional o el producto vectorial de vectores. Por lo tanto, las fuerzas que actúan sobre los objetos no pueden identificarse sin tener en cuenta la aceleración y la dirección relativas mediante el uso de sistemas de referencia. [ 19 ]

Trabajo y energía

Si una fuerza constante F aplicada a una partícula la desplaza desde la posición inicial r hasta la posición final r , entonces el trabajo realizado es :W,{\displaystyle W,}por la fuerza se define como el producto escalar de esa fuerza y ​​el vector de desplazamiento Δ r = r final − r inicial :

W=F⋅Δr.{\displaystyle W=\mathbf {F} \cdot \Delta \mathbf {r} \,.}

En términos más generales, si la fuerza varía en función de la posición a medida que la partícula se mueve de r 1 a r 2 a lo largo de una trayectoria C , el trabajo realizado sobre la partícula viene dado por la integral de línea.

W=∫doF(r)⋅dr.{\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \,.}

Si el trabajo realizado al mover la partícula de r 1 a r 2 es el mismo independientemente de la trayectoria seguida, se dice que la fuerza es conservativa . La gravedad es una fuerza conservativa, al igual que la fuerza debida a un resorte idealizado , según la ley de Hooke . La fuerza debida a la fricción no es conservativa.

La energía cinética E k de una partícula de masa m que viaja a velocidad v viene dada por

mik=12metrov2.{\displaystyle E_{\mathrm {k} }={\tfrac {1}{2}}mv^{2}\,.}

En el caso de objetos extensos compuestos por muchas partículas, la energía cinética del cuerpo compuesto es la suma de las energías cinéticas de las partículas.

El teorema del trabajo y la energía establece que, para una partícula de masa constante m , el trabajo total W realizado sobre la partícula al moverse de la posición r 1 a r 2 es igual al cambio en la energía cinética E k de la partícula:

W=Δmik=mik2−mik1=12metro(v22−v12).{\displaystyle W=\Delta E_{\mathrm {k} }=E_{\mathrm {k_{2}} }-E_{\mathrm {k_{1}} }={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{2}^{\,2}-v_{1}^{\,2}\right).}

Las fuerzas conservativas pueden expresarse como el gradiente de una función escalar, conocida como energía potencial y denotada por E p :

F=−∇mipag.{\displaystyle \mathbf {F} =-\mathbf {\nabla } E_{\mathrm {p} }\,.}

Si todas las fuerzas que actúan sobre una partícula son conservativas, y E p es la energía potencial total (que se define como el trabajo de las fuerzas involucradas para reordenar las posiciones mutuas de los cuerpos), obtenida al sumar las energías potenciales correspondientes a cada fuerza

F⋅Δr=−∇mipag⋅Δr=−Δmipag.{\displaystyle \mathbf {F} \cdot \Delta \mathbf {r} =-\mathbf {\nabla } E_{\mathrm {p} }\cdot \Delta \mathbf {r} =-\Delta E_{\mathrm {p} }\,.}

La disminución de la energía potencial es igual al aumento de la energía cinética.

−Δmipag=Δmik⇒Δ(mik+mipag)=0.{\displaystyle -\Delta E_{\mathrm {p} }=\Delta E_{\mathrm {k} }\Rightarrow \Delta (E_{\mathrm {k} }+E_{\mathrm {p} })=0\,.}

Este resultado se conoce como conservación de la energía y establece que la energía total ,

∑mi=mik+mipag,{\displaystyle \sum E=E_{\mathrm {k} }+E_{\mathrm {p} }\,,}

es constante en el tiempo. Suele ser útil porque muchas fuerzas comunes son conservativas.

mecánica lagrangiana

La mecánica lagrangiana es una formulación de la mecánica clásica basada en el principio de acción estacionaria (también conocido como principio de mínima acción). Fue introducida por el matemático y astrónomo ítalo-francés Joseph-Louis Lagrange en su presentación a la Academia de Ciencias de Turín en 1760 [ 20 ] , culminando en su gran obra de 1788, Mécanique analytique . La mecánica lagrangiana describe un sistema mecánico como un par(METRO,L){\textstyle (M,L)}que consta de un espacio de configuraciónMETRO{\textstyle M}y un funcionamiento suaveL{\textstyle L}dentro de ese espacio llamado lagrangiano. Para muchos sistemas,L=T−V,{\textstyle L=T-V,}dóndeT{\textstyle T}yV{\displaystyle V}son la energía cinética y potencial del sistema, respectivamente. El principio de acción estacionaria requiere que el funcional de acción del sistema derivado deL{\textstyle L}debe permanecer en un punto fijo (un máximo , un mínimo o un punto de silla ) durante toda la evolución temporal del sistema. Esta restricción permite calcular las ecuaciones de movimiento del sistema utilizando las ecuaciones de Lagrange. [ 21 ]

mecánica hamiltoniana

Hamiltonian mechanics emerged in 1833 as a reformulation of Lagrangian mechanics. Introduced by Sir William Rowan Hamilton,[22] Hamiltonian mechanics replaces (generalized) velocities q˙i{\displaystyle {\dot {q}}^{i}} used in Lagrangian mechanics with (generalized) momenta. Both theories provide interpretations of classical mechanics and describe the same physical phenomena. Hamiltonian mechanics has a close relationship with geometry (notably, symplectic geometry and Poisson structures) and serves as a link between classical and quantum mechanics.

In this formalism, the dynamics of a system are governed by Hamilton's equations, which express the time derivatives of position and momentum variables in terms of partial derivatives of a function called the Hamiltonian: dqdt=∂H∂p,dpdt=−∂H∂q.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {q}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}},\quad {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {p}}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}.} The Hamiltonian is the Legendre transform of the Lagrangian, and in many situations of physical interest it is equal to the total energy of the system.

Foundational character

Classical mechanics has a wide range of application but its impact on physics is not limited to its practical applications. The techniques and point of view in classical mechanics is a critical foundation for modern physics.[3]:viii The mathematical techniques of classical mechanics have been adapted far beyond their original source of inspiration.[23]:2

Limits of validity

Tabla de mecánica de dos por dos para tamaño por velocidad
Domain of validity for classical mechanics

Cuando ni la mecánica cuántica ni la mecánica clásica son aplicables, como en el nivel cuántico con muchos grados de libertad, la teoría cuántica de campos (TCC) resulta útil. La TCC trata distancias pequeñas y velocidades grandes con muchos grados de libertad, así como la posibilidad de cualquier cambio en el número de partículas a lo largo de la interacción. Al tratar grandes grados de libertad a nivel macroscópico, la mecánica estadística se vuelve útil. La mecánica estadística describe el comportamiento de grandes (pero contables) cantidades de partículas y sus interacciones en su conjunto a nivel macroscópico. La mecánica estadística se utiliza principalmente en termodinámica para sistemas que se encuentran fuera de los límites de las suposiciones de la termodinámica clásica. En el caso de objetos de alta velocidad que se aproximan a la velocidad de la luz, la mecánica clásica se ve reforzada por la relatividad especial . Si los objetos se vuelven extremadamente pesados ​​(es decir, su radio de Schwarzschild no es despreciablemente pequeño para una aplicación dada), las desviaciones de la mecánica newtoniana se hacen evidentes y pueden cuantificarse utilizando el formalismo post-newtoniano parametrizado . En ese caso, la relatividad general (RG) se vuelve aplicable. Sin embargo, hasta ahora no existe una teoría de la gravedad cuántica que unifique la GR y la TQC en el sentido de que pueda utilizarse cuando los objetos se vuelven extremadamente pequeños y pesados. [4] [5]

aproximación newtoniana a la relatividad especial

En la relatividad especial, el momento de una partícula viene dado por

pag=metrov1−v2do2,{\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\,,}

donde m es la masa en reposo de la partícula, v su velocidad, v es el módulo de v y c es la velocidad de la luz.

Si v es muy pequeño en comparación con c , v² / c² es aproximadamente cero, y por lo tanto

pag≈metrov.{\displaystyle \mathbf {p} \approx m\mathbf {v} \,.}

Por lo tanto, la ecuación newtoniana p = m v es una aproximación de la ecuación relativista para cuerpos que se mueven a bajas velocidades en comparación con la velocidad de la luz.

Por ejemplo, la frecuencia ciclotrónica relativista de un ciclotrón , girotrón o magnetrón de alto voltaje viene dada por

F=Fdometro0metro0+Tdo2,{\displaystyle f=f_{\mathrm {c} }{\frac {m_{0}}{m_{0}+{\frac {T}{c^{2}}}}}\,,}

donde f c es la frecuencia clásica de un electrón (u otra partícula cargada) con energía cinética T y masa ( en reposo ) m 0 que orbita en un campo magnético. La masa (en reposo) de un electrón es de 511  keV. Por lo tanto, la corrección de frecuencia es del 1 % para un tubo de vacío magnético con una  tensión de aceleración de corriente continua de 5,11 kV.

Aproximación clásica a la mecánica cuántica

La aproximación de rayos de la mecánica clásica falla cuando la longitud de onda de De Broglie no es mucho menor que otras dimensiones del sistema. Para partículas no relativistas, esta longitud de onda es

λ=hpag{\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}

donde h es la constante de Planck y p es el momento.

Nuevamente, esto sucede con los electrones antes que con partículas más pesadas. Por ejemplo, los electrones utilizados por Clinton Davisson y Lester Germer en 1927, acelerados con 54  V, tenían una longitud de onda de 0,167  nm, lo suficientemente larga como para mostrar un único lóbulo lateral de difracción al reflejarse en la superficie de un cristal de níquel con un espaciado atómico de 0,215 nm. Con una cámara de vacío más grande , parecería relativamente fácil aumentar la resolución angular de aproximadamente un radián a un milirradián y observar la difracción cuántica en los patrones periódicos de la memoria de los circuitos integrados de las computadoras. 

Ejemplos más prácticos del fallo de la mecánica clásica a escala de ingeniería son la conducción por efecto túnel cuántico en diodos túnel y las compuertas de transistores muy estrechas en circuitos integrados .

La mecánica clásica utiliza la misma aproximación de alta frecuencia extrema que la óptica geométrica . Suele ser más precisa porque describe partículas y cuerpos con masa en reposo . Estos poseen mayor momento y, por lo tanto, longitudes de onda de De Broglie más cortas que las partículas sin masa, como la luz, con las mismas energías cinéticas.

Historia

El estudio del movimiento de los cuerpos es antiguo, lo que convierte a la mecánica clásica en una de las disciplinas más antiguas y extensas de la ciencia , la ingeniería y la tecnología . El desarrollo de la mecánica clásica condujo al desarrollo de muchas áreas de las matemáticas. [ 24 ] : 54

Algunos filósofos griegos de la antigüedad, entre ellos Aristóteles , fundador de la física aristotélica , pudieron haber sido los primeros en sostener la idea de que «todo sucede por una razón» y que los principios teóricos pueden ayudar a comprender la naturaleza. [ 25 ] Si bien para un lector moderno muchas de estas ideas conservadas parecen eminentemente razonables, existe una notable falta de teoría matemática y experimentación controlada , tal como las conocemos. Estos se convirtieron posteriormente en factores decisivos en la formación de la ciencia moderna, y su aplicación temprana llegó a conocerse como mecánica clásica. En su Elementa supermonstraem ponderum , el matemático medieval Jordanus de Nemore introdujo el concepto de « gravedad posicional » y el uso de fuerzas componentes . [ 26 ]

un diagrama de la teoría del ímpetu de Alberto de Sajonia con abcd
Teoría de tres etapas del ímpetu según Alberto de Sajonia

La primera descripción moderna de los movimientos de los planetas fue la Astronomia nova de Johannes Kepler , publicada en 1609. [ 27 ] Concluyó, basándose en las observaciones de Tycho Brahe sobre la órbita de Marte , que las órbitas del planeta eran elipses . Esta ruptura con el pensamiento antiguo se produjo casi al mismo tiempo que Galileo proponía leyes matemáticas abstractas para el movimiento de los objetos. Galileo pudo (o no) haber realizado el famoso experimento de dejar caer dos balas de cañón de diferente peso desde la torre de Pisa , demostrando que ambas impactaban contra el suelo simultáneamente. La veracidad de ese experimento en particular es objeto de debate, [ 28 ] pero sí llevó a cabo experimentos cuantitativos haciendo rodar bolas sobre un plano inclinado . Su teoría del movimiento acelerado se derivó de los resultados de tales experimentos y constituye una piedra angular de la mecánica clásica. El tratamiento matemático de Galileo sobre la aceleración y su concepto de ímpetu [ 29 ] surgieron de análisis medievales anteriores del movimiento , especialmente los de Avicena , [ 30 ] Ibn Bajjah , [ 31 ] y Jean Buridan . [ 32 ]

En 1673, Christiaan Huygens describió en su Horologium Oscillatorium las dos primeras leyes del movimiento . [ 33 ] Esta obra es también el primer tratado moderno en el que un problema físico (el movimiento acelerado de un cuerpo en caída libre) se idealiza mediante un conjunto de parámetros que luego se analizan matemáticamente, y constituye una de las obras fundamentales de las matemáticas aplicadas . [ 34 ]

Retrato de Isaac Newton con el pelo largo mirando a la izquierda.
Sir Isaac Newton (1643-1727), una figura influyente en la historia de la física, cuyas tres leyes del movimiento constituyen la base de la mecánica clásica.

Newton fundó sus principios de filosofía natural en tres leyes del movimiento propuestas : la ley de la inercia , su segunda ley de la aceleración (mencionada anteriormente) y la ley de acción y reacción ; y así sentó las bases de la mecánica clásica. Tanto la segunda como la tercera ley de Newton recibieron el tratamiento científico y matemático adecuado en su Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica . [ 35 ] Aquí se distinguen de intentos anteriores de explicar fenómenos similares, que eran incompletos, incorrectos o carecían de una expresión matemática precisa. Newton también enunció los principios de conservación del momento lineal y del momento angular .

En mecánica, Newton proporcionó la primera formulación científica y matemática correcta de la gravedad en su ley de gravitación universal . [ 36 ] La combinación de las leyes del movimiento y la gravitación de Newton ofrece la descripción más completa y precisa de la mecánica clásica. Demostró que estas leyes se aplican tanto a objetos cotidianos como a objetos celestes. En particular, obtuvo una explicación teórica de las leyes de Kepler sobre el movimiento de los planetas. [ 37 ]

Newton ya había inventado el cálculo ; sin embargo, los Principia fueron formulados enteramente en términos de métodos geométricos establecidos desde hacía mucho tiempo, imitando a Euclides . Newton, y la mayoría de sus contemporáneos, con la notable excepción de Huygens , partían de la premisa de que la mecánica clásica podría explicar todos los fenómenos, incluida la luz , mediante la óptica geométrica . Incluso al descubrir los llamados anillos de Newton (un fenómeno de interferencia de ondas ), mantuvo su propia teoría corpuscular de la luz .

Pintura de Joseph-Louis Lagrange
La contribución de Lagrange consistió en plasmar las ideas de Newton en el lenguaje de las matemáticas modernas, ahora conocido como mecánica lagrangiana .

Tras Newton, la mecánica clásica se convirtió en un campo de estudio fundamental tanto en matemáticas como en física. Tratamientos matemáticos cada vez más abstractos y generalizados permitieron encontrar soluciones a un número mucho mayor de problemas. En 1788, Joseph Louis Lagrange realizó una reformulación importante . La mecánica lagrangiana fue a su vez reformulada en 1833 por William Rowan Hamilton . [ 38 ]

Retrato de William Rowan Hamilton, sentado y mirando hacia la izquierda.
Hamilton desarrolló una alternativa a la mecánica lagrangiana, ahora llamada mecánica hamiltoniana .

A finales del siglo XIX se descubrieron algunas dificultades en la mecánica clásica que solo pudieron resolverse mediante revisiones de la física. Uno de los problemas se relacionaba con la compatibilidad con la teoría electromagnética y el famoso experimento de Michelson-Morley . La resolución de estos problemas condujo a la teoría especial de la relatividad , que a veces se incluye dentro de la física "clásica" [ 39 ] [ 11 ] , pero también se dice que es inconmensurable con ella [ 40 ] . Esta teoría puede considerarse una extensión de las leyes de la física que, junto con la relatividad general , completa la mecánica clásica [ 41 ] .

Un segundo problema estaba relacionado con la termodinámica . Al combinarse con la termodinámica, la mecánica clásica conduce a la paradoja de Gibbs de la mecánica estadística clásica , en la que la entropía no es una magnitud bien definida. [ 42 ] La radiación de cuerpo negro no se explicaba sin la introducción de cuantos . [ 43 ] A medida que los experimentos alcanzaban el nivel atómico, la mecánica clásica no lograba explicar, ni siquiera de forma aproximada, aspectos tan básicos como los niveles de energía y los tamaños de los átomos , ni el efecto fotoeléctrico . El esfuerzo por resolver estos problemas condujo al desarrollo de la mecánica cuántica . [ 44 ]

Desde finales del siglo XX, la mecánica clásica en física dejó de ser una teoría independiente. Ahora se la considera una aproximación a la mecánica cuántica, más general. El énfasis se ha desplazado hacia la comprensión de las fuerzas fundamentales de la naturaleza, como en el Modelo Estándar y sus extensiones más modernas, que conforman una teoría unificada del todo . La mecánica clásica es una teoría útil para el estudio del movimiento de partículas de baja energía, no cuánticas, en campos gravitatorios débiles.

Véase también

Referencias

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Lecturas adicionales

  • Crowell, Benjamin. Luz y materia (un texto introductorio que utiliza álgebra con secciones opcionales que incluyen cálculo).
  • Fitzpatrick, Richard. Mecánica clásica (utiliza cálculo)
  • Hoiland, Paul (2004). Marcos de referencia preferidos y relatividad.
  • Horbatsch, Marko, " Apuntes del curso de mecánica clásica ".
  • Rosu, Haret C., " Mecánica clásica ". Educación en física. 1999. [arxiv.org  : physics/9909035]
  • Shapiro, Joel A. (2003). Mecánica clásica
  • Sussman, Gerald Jay & Wisdom, Jack & Mayer, Meinhard E. (2001). Estructura e interpretación de la mecánica clásica.
  • Tong, David. Dinámica clásica (Apuntes de clase de Cambridge sobre el formalismo lagrangiano y hamiltoniano)
  • La Biblioteca Digital de Modelos Cinemáticos para el Diseño (KMODDL) ofrece vídeos y fotografías de cientos de modelos de sistemas mecánicos en funcionamiento en la Universidad de Cornell . También incluye una biblioteca de libros electrónicos con textos clásicos sobre diseño e ingeniería mecánica.
  • MIT OpenCourseWare 8.01: Mecánica Clásica. Vídeos gratuitos de clases reales con enlaces a apuntes, tareas y exámenes.
  • Alejandro A. Torassa, Sobre mecánica clásica