Teorema ergódico subaditivo de Kingman

En matemáticas, el teorema ergódico subaditivo de Kingman es uno de varios teoremas ergódicos . Puede verse como una generalización del teorema ergódico de Birkhoff . ^[1] Intuitivamente, el teorema ergódico subaditivo es una especie de versión de variable aleatoria del lema de Fekete (de ahí el nombre ergódico). ^[2] Como resultado, puede reformularse en el lenguaje de la probabilidad, por ejemplo, utilizando una secuencia de variables aleatorias y valores esperados . El teorema lleva el nombre de John Kingman .

Sea una transformación que preserva la medida en el espacio de probabilidad y sea una secuencia de funciones tales que (relación de subaditividad). Entonces ${\estilo de visualización T}$ ${\displaystyle (\Omega,\Sigma,\mu)}$${\displaystyle \{g_{n}\}_{n\in \mathbb {N}}}$$Estilo de visualización L1$${\displaystyle g_{n+m}(x)\leq g_{n}(x)+g_{m}(T^{n}x)}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n}(x)}{n}}=:g(x)\geq -\infty }$

para -ae x , donde g ( x ) es T -invariante. ${\estilo de visualización \mu}$

En particular, si T es ergódico , entonces g ( x ) es una constante.

Dada una familia de variables aleatorias reales , con , tales que son subaditivas en el sentido de que Entonces existe una variable aleatoria tal que , es invariante con respecto a , y como. ${\textstyle X(m,n)}$${\textstyle 0\leq m<n\in \mathbb {N} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}&X(m+1,n+1)=X(m,n)\circ T\\&X(0,n)\leq X(0,m)+X(m,n)\end{aligned}}}$$${\textstyle Y}$${\textstyle Y\in [-\infty,+\infty)}$${\textstyle Y}$${\textstyle T}$${\textstyle \lim _{n}{\frac {1}{n}}X(0,n)=Y}$

Son equivalentes por configuración

• ${\textstyle g_{n}=X(0,n)}$con ;${\textstyle n\geq 1}$
• ${\textstyle X(m,m+n)=g_{n}\circ T^{m}}$con .${\textstyle m\geq 0}$

Prueba debida a ( J. Michael Steele , 1989). ^[3]

Arreglar algunos . Por subaditividad, para cualquier${\textstyle n\geq 1}$${\textstyle l\en 1:n-1}$ $${\displaystyle g_{n}\leq g_{nl}+g_{l}\circ T^{nl}}$$

Podemos imaginar esto como comenzar con el conjunto y luego quitarle su cola de longitud. ${\textstyle 0:n-1}$${\textstyle l}$

Repitiendo esta construcción hasta que se acabe todo el conjunto, tenemos una correspondencia biunívoca entre los límites superiores de y las particiones de . ${\textstyle 0:n-1}$${\textstyle g_{n}}$${\textstyle 1:n-1}$

En concreto, sea una partición de , entonces tenemos${\textstyle \{k_{i}:(k_{i}+l_{i}-1)\}_{i}}$${\textstyle 0:n-1}$$${\displaystyle g_{n}\leq \sum _{i}g_{l_{i}}\circ T^{k_{i}}}$$

Sea , entonces es -invariante. ${\textstyle g:=\liminf g_{n}/n}$${\textstyle T}$

Por subaditividad,$${\displaystyle {\frac {g_{n+1}}{n+1}}\leq {\frac {g_{1}+g_{n}\circ T}{n+1}}}$$

Tomando el límite, tenemos Podemos visualizarlo como una subida de colinas en el gráfico de . Si en realidad provoca una cantidad no trivial de subida de colinas, entonces obtendríamos una contracción espacial y, por lo tanto, no conserva la medida. Por lo tanto, ae ${\textstyle n\to \infty}$$${\displaystyle g\leq g\circ T}$$${\textstyle T}$${\textstyle g}$${\textstyle T}$${\textstyle T}$${\textstyle g=g\circ T}$

Sea entonces y como ambos lados tienen la misma medida, al apretar, son iguales ae. ${\textstyle c\in \mathbb {R}}$$${\displaystyle \{g\geq c\}\subconjunto \{g\circ T\geq c\}=T^{-1}(\{g\geq c\})}$$

Es decir, , ae. ${\textstyle g(x)\geq c\iff g(Tx)\geq c}$

Ahora aplique esto para todos los racionales . ${\textstyle c}$

Por subaditividad, utilizando la partición de en singletons. Ahora, construya la secuencia que satisface para todos los . ${\textstyle 0:n-1}$$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}&\leq g_{1}\\g_{2}&\leq g_{1}+g_{1}\circ T\\g_{3}&\leq g_{1}+g_{1}\circ T+g_{1}\circ T^{2}\\&\cdots \end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}&=g_{1}-g_{1}\\f_{2}&=g_{2}-(g_{1}+g_{1}\circ T)\\f_{3}&=g_{3}-(g_{1}+g_{1}\circ T+g_{1}\circ T^{2})\\&\cdots \end{aligned}}}$$${\textstyle f_{n}\leq 0}$${\textstyle n}$

Por el caso especial, converge ae a una función -invariante. ${\textstyle f_{n}/n}$${\textstyle T}$

Según el teorema ergódico puntual de Birkhoff, la media móvil converge ae a una función invariante. Por lo tanto, su suma también lo hace. $${\displaystyle {\frac {1}{n}}(g_{1}+g_{1}\circ T+g_{1}\circ T^{2}+\cdots )}$$${\textstyle T}$

Fijemos arbitrariamente y construyamos la función truncada, aún invariante: Con esto, basta con probar un límite superior de ae ya que nos permitiría tomar el límite , luego el límite , dándonos ae ${\textstyle \epsilon ,M>0}$${\textstyle T}$$${\displaystyle g':=\max(g,-M)}$$$${\displaystyle \limsup g_{n}/n\leq g'+\epsilon}$$${\estilo de texto \epsilon =1/1,1/2,1/3,\puntos }$${\textstyle M=1,2,3,\puntos}$

$${\displaystyle \limsup g_{n}/n\leq \liminf g_{n}/n=:g}$$Y al comprimir, tenemos ae convergente a . Defina dos familias de conjuntos, una que se encoge hasta el conjunto vacío y otra que crece hasta el conjunto completo. Para cada "longitud" , defina Dado que , la familia se encoge hasta el conjunto vacío. ${\textstyle g_{n}/n}$${\textstyle g}$${\displaystyle L=1,2,3,\puntos}$$${\displaystyle B_{L}:=\{x:g_{l}/l>g'+\epsilon ,\para todo l\en 1,2,\puntos ,L\}}$$ $${\displaystyle A_{L}:=B_{N}^{c}=\{x:g_{l}/l\leq g'+\epsilon ,\existe l\en 1,2,\puntos ,L\}}$$${\textstyle g'\geq \liminf g_{n}/n}$${\texto estilo B}$

Arreglar . Arreglar . Arreglar . El orden de estos calificadores es de vital importancia, porque los eliminaremos uno por uno en orden inverso. ${\textstyle x\en X}$${\textstyle L\in \mathbb {N}}$${\textstyle n>N}$

Para demostrar el límite superior de ae, debemos usar la subaditividad, lo que significa que debemos construir una partición del conjunto . Lo hacemos de manera inductiva:${\textstyle 0:n-1}$

Tome el más pequeño que no esté ya en una partición.${\textstyle k}$

Si , entonces para algunos . Tome uno de ellos : la elección no importa.${\textstyle T^{k}x\in A_{N}}$${\textstyle g_{l}(T^{k}x)/l\leq g'(x)+\epsilon }$${\textstyle l\in 1,2,\dots L}$${\textstyle l}$

Si , entonces eliminamos . Llamamos a estas particiones “tipo 1”. De lo contrario, eliminamos . Llamamos a estas particiones “tipo 2”.${\textstyle k+l-1\leq n-1}$${\textstyle \{k,\dots ,k+l-1\}}$${\textstyle \{k\}}$

De lo contrario, cortamos . Llamamos a estas particiones “tipo 3”.${\textstyle \{k\}}$

Ahora convierta esta partición en una desigualdad: donde son las cabezas de las particiones y son las longitudes. $${\displaystyle g_{n}(x)\leq \sum _{i}g_{l_{i}}(T^{k_{i}}x)}$$${\textstyle k_{i}}$${\textstyle l_{i}}$

Como todos , podemos eliminar los otros tipos de particiones: Por construcción, cada , por lo tanto Ahora sería tentador continuar con , pero desafortunadamente , por lo que la dirección es exactamente la opuesta. Debemos acotar inferiormente la suma . ${\textstyle g_{n}\leq 0}$$${\displaystyle g_{n}(x)\leq \sum _{i:{\text{type 1}}}g_{l_{i}}(T^{k_{i}}x)}$$${\textstyle g_{l_{i}}(T^{k_{i}}x)\leq l_{i}(g'(x)+\epsilon )}$$${\displaystyle {\frac {1}{n}}g_{n}(x)\leq g'(x){\frac {1}{n}}\sum _{i:{\text{type 1}}}l_{i}+\epsilon }$$${\textstyle g'(x){\frac {1}{n}}\sum _{i:{\text{type 1}}}l_{i}\leq g'(x)}$${\textstyle g'\leq 0}$${\textstyle \sum _{i:{\text{type 1}}}l_{i}}$

El número de elementos de tipo 3 es igual a Si un número es de tipo 2, entonces debe estar dentro de los últimos elementos de . Por lo tanto, el número de elementos de tipo 2 es como máximo . Juntos, tenemos el límite inferior :$${\displaystyle \sum _{k\in 0:n-1}1_{B_{L}}(T^{k}x)}$$${\textstyle k}$${\textstyle L-1}$${\textstyle 0:n-1}$${\textstyle L-1}$$${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i:{\text{type 1}}}l_{i}\geq 1-{\frac {L-1}{n}}-{\frac {1}{n}}\sum _{k\in 0:n-1}1_{B_{L}}(T^{k}x)}$$

Quitar el calificador tomando el límite. ${\textstyle n>N}$${\textstyle n\to \infty }$

Por el teorema ergódico puntual de Birkhoff, existe un límite puntual ae que satisface En el límite, encontramos que para ae ,$${\displaystyle \lim _{n}{\frac {1}{n}}\sum _{k\in 0:n-1}1_{B_{L}}(T^{k}x)\to {\bar {1}}_{B_{L}}(x)}$$
$${\displaystyle \int {\bar {1}}_{B_{L}}=\mu (B_{L});\quad {\bar {1}}_{B_{L}}(x)\in [0,1]}$$${\textstyle x\in X,L\in \mathbb {N} }$$${\displaystyle \limsup _{n}{\frac {g_{n}(x)}{n}}\leq g'(x)(1-{\bar {1}}_{B_{L}}(x))+\epsilon }$$

Quitar el calificador tomando el límite. ${\textstyle L\in \mathbb {N} }$${\textstyle L\to \infty }$

Como tenemos y como , podemos aplicar el mismo argumento utilizado para demostrar la desigualdad de Markov , para obtener para ae . $${\displaystyle \int {\bar {1}}_{B_{L}}=\mu (B_{L})\to 0}$$${\displaystyle {\bar {1}}_{B_{L}}\geq {\bar {1}}_{B_{L+1}}\geq \cdots }$${\displaystyle 1_{B_{L}}\geq 1_{B_{L+1}}\geq \cdots }$
$${\displaystyle \limsup _{n}{\frac {g_{n}(x)}{n}}\leq g'(x)+\epsilon }$$${\textstyle x\in X}$

En detalle, el argumento es el siguiente: dado que , y , sabemos que para cualquier , todo lo suficientemente grande satisface en todas partes excepto en un conjunto de tamaño . Por lo tanto, con probabilidad . Ahora tomemos ambos . ${\displaystyle {\bar {1}}_{B_{L}}\geq {\bar {1}}_{B_{L+1}}\geq \cdots \geq 0}$${\displaystyle \int {\bar {1}}_{B_{L}}\to 0}$${\displaystyle \delta ,\delta '>0}$${\displaystyle L}$${\displaystyle {\bar {1}}_{B_{L}}(x)<\delta }$${\displaystyle \geq \delta '}$$${\displaystyle \limsup _{n}{\frac {g_{n}(x)}{n}}\leq g'(x)(1-\delta )+\epsilon }$$${\displaystyle \geq 1-\delta '}$${\displaystyle \delta ,\delta '\to 0}$

Tomando como base se recupera el teorema ergódico puntual de Birkhoff. ${\displaystyle g_{n}(x):=\sum _{j=0}^{n-1}f(T^{j}x)}$

Tomando todas las funciones constantes, recuperamos el lema subaditivo de Fekete. ${\displaystyle g_{n}}$

El teorema ergódico subaditivo de Kingman se puede utilizar para demostrar afirmaciones sobre los exponentes de Lyapunov . También tiene aplicaciones en percolaciones y en la subsecuencia creciente más larga . ^[4]

Para estudiar la subsecuencia creciente más larga de una permutación aleatoria , la generamos de manera equivalente. Una permutación aleatoria en se genera de manera equivalente muestreando uniformemente puntos en un cuadrado y luego encontramos la subsecuencia creciente más larga de esa. ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle 1:n}$${\displaystyle n}$

Ahora, defina el proceso puntual de Poisson con densidad 1 en , y defina las variables aleatorias como la longitud de la subsecuencia creciente más larga en el cuadrado . Defina la transformación que preserva la medida desplazando el plano en , y luego cortando las partes que se han caído de . ${\displaystyle [0,\infty )^{2}}$${\displaystyle M_{k}^{*}}$${\displaystyle [0,k)^{2}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle (-1,-1)}$${\displaystyle [0,\infty )^{2}}$

El proceso es subaditivo, es decir, . Para ver esto, observe que el lado derecho construye una subsucesión creciente primero en el cuadrado , luego en el cuadrado y finalmente los concatena. Esto produce una subsucesión creciente en , pero no necesariamente la más larga. ${\displaystyle M_{k+m}^{*}\geq M_{k}^{*}+M_{m}^{*}\circ T^{k}}$${\displaystyle [0,k)^{2}}$${\displaystyle [k,k+m)^{2}}$${\displaystyle [0,k+m)^{2}}$

Además, es ergódico, por lo que, según el teorema de Kingman, converge a una constante casi con seguridad. Como en el límite hay puntos en el cuadrado, converge a una constante casi con seguridad. ${\displaystyle T}$${\displaystyle M_{k}^{*}/k}$${\displaystyle n=k^{2}}$${\displaystyle L_{n}^{*}/{\sqrt {n}}}$