ecuaciones de Kirchhoff

En dinámica de fluidos , las ecuaciones de Kirchhoff , que reciben su nombre de Gustav Kirchhoff , describen el movimiento de un cuerpo rígido en un fluido ideal .

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{{\partial T} \over {\partial {\boldsymbol {\omega }}}}&={{\partial T} \over {\partial {\boldsymbol {\omega }}}}\times {\boldsymbol {\omega }}+{{\partial T} \over {\partial \mathbf {v} }}\times \mathbf {v} +\mathbf {Q} _{h}+\mathbf {Q} ,\\[10pt]{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{{\partial T} \over {\partial \mathbf {v} }}&={{\partial T} \over {\partial \mathbf {v} }}\times {\boldsymbol {\omega }}+\mathbf {F} _{h}+\mathbf {F} ,\\[10pt]T&={1 \over 2}\left({\boldsymbol {\omega }}^{T}{\tilde {I}}{\boldsymbol {\omega }}+mv^{2}\right)\\[10pt]\mathbf {Q} _{h}&=-\int p\mathbf {x} \times {\hat {\mathbf {n} }}\,d\sigma ,\\[10pt]\mathbf {F} _{h}&=-\int p{\hat {\mathbf {n} }}\,d\sigma \end{aligned}}}$$

dónde${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$y${\displaystyle \mathbf {v} }$son los vectores de velocidad angular y lineal en el punto${\displaystyle \mathbf {x} }$, respectivamente;${\displaystyle {\tilde {I}}}$es el tensor del momento de inercia,${\displaystyle m}$es la masa del cuerpo;${\displaystyle {\sombrero {\mathbf {n} }}}$es un vector normal unitario a la superficie del cuerpo en el punto${\displaystyle \mathbf {x} }$; ${\displaystyle p}$Hay presión en este punto;${\displaystyle \mathbf {Q} _{h}}$y${\displaystyle \mathbf {F} _{h}}$son el par hidrodinámico y la fuerza que actúan sobre el cuerpo, respectivamente; ${\displaystyle \mathbf {Q} }$y${\displaystyle \mathbf {F} }$Asimismo, se denotan todos los demás pares y fuerzas que actúan sobre el cuerpo. La integración se realiza sobre la porción de la superficie del cuerpo expuesta al fluido.

Si el cuerpo es un cuerpo completamente sumergido en un volumen infinitamente grande de fluido irrotacional, incompresible e inviscido, que está en reposo en el infinito, entonces los vectores${\displaystyle \mathbf {Q} _{h}}$y${\displaystyle \mathbf {F} _{h}}$se puede encontrar mediante integración explícita, y la dinámica del cuerpo se describe mediante las ecuaciones de Kirchhoff - Clebsch :

$${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{{\partial L} \over {\partial {\boldsymbol {\omega }}}}={{\partial L} \over {\partial {\boldsymbol {\omega }}}}\times {\boldsymbol {\omega }}+{{\partial L} \over {\partial \mathbf {v} }}\times \mathbf {v} ,\quad {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{{\partial L} \over {\partial \mathbf {v} }}={{\partial L} \over {\partial \mathbf {v} }}\times {\boldsymbol {\omega }},}$$

$${\displaystyle L({\boldsymbol {\omega }},\mathbf {v} )={1 \over 2}(A{\boldsymbol {\omega }},{\boldsymbol {\omega }})+(B{\boldsymbol {\omega }},\mathbf {v} )+{1 \over 2}(C\mathbf {v} ,\mathbf {v} )+(\mathbf {k} ,{\boldsymbol {\omega }})+(\mathbf {l} ,\mathbf {v} ).}$$

Sus primeras integrales se leen $${\displaystyle J_{0}=\left({{\partial L} \over {\partial {\boldsymbol {\omega }}}},{\boldsymbol {\omega }}\right)+\left({{\partial L} \over {\partial \mathbf {v} }},\mathbf {v} \right)-L,\quad J_{1}=\left({{\partial L} \over {\partial {\boldsymbol {\omega }}}},{{\partial L} \over {\partial \mathbf {v} }}\right),\quad J_{2}=\left({{\partial L} \over {\partial \mathbf {v} }},{{\partial L} \over {\partial \mathbf {v} }}\right).}$$

Una mayor integración produce expresiones explícitas para la posición y las velocidades.

• Kirchhoff GR Vorlesungen ueber Mathematische Physik, Mechanik . Conferencia 19. Leipzig: Teubner. 1877.
• Lamb, H., Hidrodinámica . Sexta edición. Cambridge (Reino Unido): Cambridge University Press. 1932.