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Articulo de referencia

Medidas de estrés alternativas

En mecánica de medios continuos , la medida de tensión más utilizada es el tensor de tensiones de Cauchy , a menudo llamado simplemente tensor de tensiones o "tensión real". Sin...

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En mecánica de medios continuos , la medida de tensión más utilizada es el tensor de tensiones de Cauchy , a menudo llamado simplemente tensor de tensiones o "tensión real". Sin embargo, se pueden definir varias medidas alternativas de tensión: [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

  1. El estrés de Kirchhoff (τ{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}).
  2. La tensión nominal (norte{\displaystyle {\boldsymbol {N}}}).
  3. Los tensores de tensión de Piola-Kirchhoff
    1. La primera tensión de Piola-Kirchhoff (PAG{\displaystyle {\boldsymbol {P}}}). Este tensor de tensiones es la transpuesta de la tensión nominal (PAG=norteT{\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {N}}^{T}}).
    2. El segundo estrés de Piola-Kirchhoff o estrés PK2 (S{\displaystyle {\boldsymbol {S}}}).
  4. El estrés de Biot (T{\displaystyle {\boldsymbol {T}}})

Definiciones

Considere la situación que se muestra en la siguiente figura. Las siguientes definiciones utilizan la notación que aparece en la figura.

En la configuración de referenciaΩ0{\displaystyle \Omega _{0}}, la normal exterior a un elemento de superficiedΓ0{\displaystyle d\Gamma _{0}}esnorte≡norte0{\displaystyle \mathbf {N} \equiv \mathbf {n} _{0}}y la tracción que actúa sobre esa superficie (suponiendo que se deforma como un vector genérico perteneciente a la deformación) est0{\displaystyle \mathbf {t} _{0}}lo que da lugar a un vector de fuerzadF0{\displaystyle d\mathbf {f} _ {0}}. En la configuración deformadaΩ{\displaystyle \Omega }, el elemento de superficie cambia adΓ{\displaystyle d\Gamma }con apariencia normalnorte{\displaystyle \mathbf {n} }y vector de tracciónt{\displaystyle \mathbf {t} }lo que conduce a una fuerzadF{\displaystyle d\mathbf {f} }Tenga en cuenta que esta superficie puede ser un corte hipotético dentro del cuerpo o una superficie real. La cantidadF{\displaystyle {\boldsymbol {F}}}es el tensor gradiente de deformación ,J{\displaystyle J}es su determinante.

estrés de Cauchy

La tensión de Cauchy (o tensión real) es una medida de la fuerza que actúa sobre un elemento de área en la configuración deformada. Este tensor es simétrico y se define mediante

dF=t dΓ=σT⋅norte dΓ{\displaystyle d\mathbf {f} =\mathbf {t} ~d\Gamma ={\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} ~d\Gamma }

o

t=σT⋅norte{\displaystyle \mathbf {t} ={\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} }

dóndet{\displaystyle \mathbf {t} }es la tracción ynorte{\displaystyle \mathbf {n} }es la normal a la superficie sobre la que actúa la tracción.

Estrés de Kirchhoff

La cantidad,

τ=J σ{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=J~{\boldsymbol {\sigma }}}

se denomina tensor de tensiones de Kirchhoff , conJ{\displaystyle J}el determinante deF{\displaystyle {\boldsymbol {F}}}Se utiliza ampliamente en algoritmos numéricos para la plasticidad de metales (donde no hay variación de volumen durante la deformación plástica). También se le conoce como tensor de tensiones de Cauchy ponderado .

Estrés de Piola-Kirchhoff

Estrés nominal/Primer estrés de Piola-Kirchhoff

La tensión nominalnorte=PAGT{\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {P}}^{T}}es la transpuesta de la primera tensión de Piola-Kirchhoff (tensión PK1, también llamada tensión de ingeniería)PAG{\displaystyle {\boldsymbol {P}}}y se define mediante

dF=t dΓ=norteT⋅norte0 dΓ0=PAG⋅norte0 dΓ0{\displaystyle d\mathbf {f} =\mathbf {t} ~d\Gamma ={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {P}}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}

o

t0=tdΓdΓ0=norteT⋅norte0=PAG⋅norte0{\displaystyle \mathbf {t} _{0}=\mathbf {t} {\dfrac {d{\Gamma }}{d\Gamma _{0}}}={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {P}}\cdot \mathbf {n} _{0}}

Esta tensión es asimétrica y es un tensor de dos puntos, al igual que el gradiente de deformación. La asimetría se deriva del hecho de que, como tensor, tiene un índice asociado a la configuración de referencia y otro a la configuración deformada. [ 4 ]

Segundo énfasis de Piola-Kirchhoff

Si retrocedemosdF{\displaystyle d\mathbf {f} }Con respecto a la configuración de referencia, obtenemos la tracción que actúa sobre esa superficie antes de la deformación.dF0{\displaystyle d\mathbf {f} _{0}}suponiendo que se comporta como un vector genérico perteneciente a la deformación. En particular tenemos

dF0=F−1⋅dF{\displaystyle d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot d\mathbf {f} }

o,

dF0=F−1⋅norteT⋅norte0 dΓ0=F−1⋅t0 dΓ0{\displaystyle d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}~d\Gamma _{0}}

El estrés PK2 (S{\displaystyle {\boldsymbol {S}}}) es simétrica y se define mediante la relación

dF0=ST⋅norte0 dΓ0=F−1⋅t0 dΓ0{\displaystyle d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}~d\Gamma _{0}}

Por lo tanto,

ST⋅norte0=F−1⋅t0{\displaystyle {\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}}

estrés biológico

La tensión de Biot es útil porque es la energía conjugada al tensor de estiramiento derecho.U{\displaystyle {\boldsymbol {U}}}. La tensión de Biot se define como la parte simétrica del tensorPAGT⋅R{\displaystyle {\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}}}dóndeR{\displaystyle {\boldsymbol {R}}}es el tensor de rotación obtenido a partir de una descomposición polar del gradiente de deformación. Por lo tanto, el tensor de tensiones de Biot se define como

T=12(RT⋅PAG+PAGT⋅R) .{\displaystyle {\boldsymbol {T}}={\tfrac {1}{2}}({\boldsymbol {R}}^{T}\cdot {\boldsymbol {P}}+{\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}})~.}

La tensión de Biot también se conoce como tensión de Jaumann.

La cantidadT{\displaystyle {\boldsymbol {T}}}no tiene ninguna interpretación física. Sin embargo, la tensión de Biot no simetrizada tiene la interpretación

RT dF=(PAGT⋅R)T⋅norte0 dΓ0{\displaystyle {\boldsymbol {R}}^{T}~d\mathbf {f} =({\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}})^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}

Relaciones

Relaciones entre la tensión de Cauchy y la tensión nominal

A partir de la fórmula de Nanson que relaciona las áreas en las configuraciones de referencia y deformadas:

norte dΓ=J F−T⋅norte0 dΓ0{\displaystyle \mathbf {n} ~d\Gamma =J~{\boldsymbol {F}}^{-T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}

Ahora,

σT⋅norte dΓ=dF=norteT⋅norte0 dΓ0{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} ~d\Gamma =d\mathbf {f} ={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}

Por eso,

σT⋅(J F−T⋅norte0 dΓ0)=norteT⋅norte0 dΓ0{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot (J~{\boldsymbol {F}}^{-T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0})={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}

o,

norteT=J (F−1⋅σ)T=J σT⋅F−T{\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}=J~({\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})^{T}=J~{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}

o,

norte=J F−1⋅σynorteT=PAG=J σT⋅F−T{\displaystyle {\boldsymbol {N}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {N}}^{T}={\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}

En notación de índices,

norteIj=J FIk−1 σkjyPAGiJ=J σki FJk−1{\displaystyle N_{Ij}=J~F_{Ik}^{-1}~\sigma _{kj}\qquad {\text{and}}\qquad P_{iJ}=J~\sigma _{ki}~F_{Jk}^{-1}}

Por lo tanto,

J σ=F⋅norte=F⋅PAGT .{\displaystyle J~{\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {P}}^{T}~.}

Tenga en cuenta quenorte{\displaystyle {\boldsymbol {N}}} yPAG{\displaystyle {\boldsymbol {P}}}(Generalmente) no son simétricos porqueF{\displaystyle {\boldsymbol {F}}}(Generalmente) no es simétrico.

Relaciones entre el estrés nominal y el segundo estrés P-K

Recuerda que

norteT⋅norte0 dΓ0=dF{\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}=d\mathbf {f} }

y

dF=F⋅dF0=F⋅(ST⋅norte0 dΓ0){\displaystyle d\mathbf {f} ={\boldsymbol {F}}\cdot d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}\cdot ({\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0})}

Por lo tanto,

norteT⋅norte0=F⋅ST⋅norte0{\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}}

o (utilizando la simetría deS{\displaystyle {\boldsymbol {S}}}),

norte=S⋅FTyPAG=F⋅S{\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}}

En notación de índices,

norteIj=SIK FjKTyPAGiJ=FiK SKJ{\displaystyle N_{Ij}=S_{IK}~F_{jK}^{T}\qquad {\text{and}}\qquad P_{iJ}=F_{iK}~S_{KJ}}

Alternativamente, podemos escribir

S=norte⋅F−TyS=F−1⋅PAG{\displaystyle {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {N}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {P}}}

Relaciones entre el estrés de Cauchy y el segundo estrés P-K

Recuerda que

norte=J F−1⋅σ{\displaystyle {\boldsymbol {N}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}

En términos del estrés del segundo PK, tenemos

S⋅FT=J F−1⋅σ{\displaystyle {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}

Por lo tanto,

S=J F−1⋅σ⋅F−T=F−1⋅τ⋅F−T{\displaystyle {\boldsymbol {S}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}

En notación de índices,

SIJ=FIk−1 τkl FJl−1{\displaystyle S_{IJ}=F_{Ik}^{-1}~\tau _{kl}~F_{Jl}^{-1}}

Dado que la tensión de Cauchy (y por lo tanto la tensión de Kirchhoff) es simétrica, la segunda tensión de Pirmidhi-Kroff también lo es.

Alternativamente, podemos escribir

σ=J−1 F⋅S⋅FT{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=J^{-1}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}}

o,

τ=F⋅S⋅FT .{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.}

Claramente, a partir de la definición de las operaciones de empuje hacia adelante y retroceso , tenemos

S=φ∗[τ]=F−1⋅τ⋅F−T{\displaystyle {\boldsymbol {S}}=\varphi ^{*}[{\boldsymbol {\tau }}]={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}

y

τ=φ∗[S]=F⋅S⋅FT .{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\varphi _{*}[{\boldsymbol {S}}]={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.}

Por lo tanto,S{\displaystyle {\boldsymbol {S}}}es el retroceso deτ{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}porF{\displaystyle {\boldsymbol {F}}}yτ{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}es el impulso hacia adelante deS{\displaystyle {\boldsymbol {S}}}.

Resumen de la fórmula de conversión

Llave:J=det(F),do=FTF=U2,F=RU,RT=R−1,{\displaystyle J=\det \left({\boldsymbol {F}}\right),\quad {\boldsymbol {C}}={\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {U}}^{2},\quad {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {U}},\quad {\boldsymbol {R}}^{T}={\boldsymbol {R}}^{-1},}PAG=JσF−T,τ=Jσ,S=JF−1σF−T,T=RTPAG,METRO=doS{\displaystyle {\boldsymbol {P}}=J{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T},\quad {\boldsymbol {\tau }}=J{\boldsymbol {\sigma }},\quad {\boldsymbol {S}}=J{\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T},\quad {\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {P}},\quad {\boldsymbol {M}}={\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {S}}}

Véase también

Referencias

  1. ↑ J. Bonet y RW Wood, Mecánica de medios continuos no lineales para el análisis de elementos finitos , Cambridge University Press.
  2. ↑ RW Ogden, 1984, Deformaciones elásticas no lineales , Dover.
  3. ↑ LD Landau, EM Lifshitz, Teoría de la elasticidad , tercera edición
  4. ↑ Elasticidad tridimensional . Elsevier. 1 de abril de 1988. ISBN 978-0-08-087541-5.
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