Cadena Kitaev

En física de la materia condensada , la cadena de Kitaev es un modelo simplificado de un superconductor topológico . Modela una red unidimensional que presenta estados ligados de Majorana . La cadena de Kitaev se ha utilizado como modelo de juguete de nanocables semiconductores para el desarrollo de computadoras cuánticas topológicas . ^{[1] [2]} El modelo fue propuesto por primera vez por Alexei Kitaev en 2000. ^[3]

El hamiltoniano de enlace fuerte en una cadena de Kitaev considera una red unidimensional con sitio N y partículas sin espín a temperatura cero, sujetas a interacciones de esperanza del vecino más cercano, dadas en el formalismo de segunda cuantificación como ^[4]

${\displaystyle H=-\mu \suma _{j=1}^{N}\left(c_{j}^{\dagger }c_{j}-{\frac {1}{2}}\right)+\suma _{j=1}^{N-1}\left[-t\left(c_{j+1}^{\dagger }c_{j}+c_{j}^{\dagger }c_{j+1}\right)+|\Delta |\left(c_{j+1}^{\dagger }c_{j}^{\dagger }+c_{j}c_{j+1}\right)\right]}$

donde es el potencial químico , son operadores de creación y aniquilación , la energía necesaria para que una partícula salte de una ubicación de la red a otra, es el hueco superconductor inducido (emparejamiento de ondas p) y es la fase superconductora coherente. Este hamiltoniano tiene simetría de partícula-hueco, así como simetría de inversión temporal . ^[5]${\estilo de visualización \mu}$${\displaystyle c_{j}^{\dagger },c_{j}}$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle \Delta =|\Delta |e^{i\theta }}$${\estilo de visualización \theta}$

El hamiltoniano se puede reescribir utilizando operadores de Majorana, dados por ^[4]

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\gamma _{j}^{A}=c_{j}^{\dagger }+c_{j}\\\gamma _{j}^{B}=i(c_{j}^{\dagger }-c_{j})\end{matrix}}\right.}$,

que pueden considerarse como las partes real e imaginaria del operador de creación . Estos operadores de Majorana son operadores hermíticos y anticonmutativos . ${\displaystyle c_{j}={\frac {1}{2}}(\gamma _{j}^{A}+i\gamma _{j}^{B})}$

${\displaystyle \{\gamma _{j}^{A},\gamma _{k}^{B}\}=2\delta _{jk}}$.

Usando estos operadores el hamiltoniano puede reescribirse como ^[4]

${\displaystyle H=-{\frac {i\mu }{2}}\sum _{j=1}^{N}\gamma _{j}^{B}\gamma _{j}^{A}+{\frac {i}{2}}\sum _{j=1}^{N-1}\left(\omega _{+}\gamma _{j}^{B}\gamma _{j+1}^{A}+\omega _{-}\gamma _{j+1}^{B}\gamma _{j}^{A}\right)}$

dónde . ${\displaystyle \omega _{\pm }=|\Delta |\pm t}$

En el límite , obtenemos el siguiente hamiltoniano ${\displaystyle t=|\Delta |\to 0}$

${\displaystyle H=-{\frac {i\mu }{2}}\sum _{j=1}^{N}\gamma _{j}^{B}\gamma _{j}^{A}}$

donde los operadores de Majorana están acoplados en el mismo sitio. Esta condición se considera una fase topológicamente trivial. ^[5]

En el límite y , obtenemos el siguiente hamiltoniano ${\displaystyle \mu \to 0}$${\displaystyle |\Delta |\to t}$

${\displaystyle H_{\rm {M}}=it\sum _{j=1}^{N-1}\gamma _{j}^{B}\gamma _{j+1}^{A}}$

donde cada operador de Majorana está acoplado a un operador de Majorana de un tipo diferente en el siguiente sitio. Al asignar un nuevo operador fermiónico , el hamiltoniano se diagonaliza, como ${\displaystyle {\tilde {c}}_{j}={\tfrac {1}{2}}(\gamma _{j}^{B}+i\gamma _{j+1}^{A} )}$

${\displaystyle H_{\rm {M}}=2t\sum _{j=1}^{N-1}\left({\tilde {c}}_{j}^{\dagger }{\tilde {c}}_{j}+{\frac {1}{2}}\right)}$

que describe un nuevo conjunto de N -1 cuasipartículas de Bogoliubov con energía t . El modo faltante dado por acopla los operadores de Majorana de los dos puntos finales de la cadena, ya que este modo no aparece en el hamiltoniano, requiere energía cero. Este modo se llama modo cero de Majorana y está altamente deslocalizado. Como la presencia de este modo no cambia la energía total, el estado fundamental es doblemente degenerado. ^[4] Esta condición es una fase no trivial superconductora topológica. ^[5]${\displaystyle {\tilde {c}}_{\rm {M}}={\tfrac {1}{2}}(\gamma _{N}^{B}+i\gamma _{1}^{A})}$

La existencia del modo cero de Majorana está protegida topológicamente de pequeñas perturbaciones debido a consideraciones de simetría . Para la cadena de Kitaev, el modo cero de Majorana persiste mientras y la brecha superconductora sea finita. ^[6] La robustez de estos modos la convierte en candidata para los qubits como base para una computadora cuántica topológica . ^[7]${\displaystyle \mu <2t}$

Utilizando el formalismo de Bogoliubov-de Gennes se puede demostrar que para el caso masivo (número infinito de sitios), la energía produce ^[6]

${\displaystyle E(k)=\pm {\sqrt {(2t\cos k+\mu )^{2}+4|\Delta |^{2}\sin ^{2}k}}}$,

y está entrecortado, excepto en el caso y el vector de onda . Para el caso general no hay modos cero. Sin embargo, existe un invariante topológico dado por ${\displaystyle \mu =2t}$${\displaystyle k=0}$

${\displaystyle Q=\mathrm {sign} \left\{\mathrm {pf} [iH(k=0)]\mathrm {pf} [iH(k=\pi )]\right\}}$,

donde es la operación de Pfaffian . Para , el invariante es estrictamente y para , correspondientes a las fases triviales y no triviales de la cadena finita, respectivamente. Esta relación entre el invariante topológico del caso global y la existencia de modos cero de Majorana en el caso finito se denomina correspondencia global-arista. ^[6]${\displaystyle \mathrm {pf} [x]}$${\displaystyle \mu >2t}$${\displaystyle Q=1}$${\displaystyle \mu <2t}$${\displaystyle Q=-1}$

Una posible realización de las cadenas de Kitaev es el uso de nanocables semiconductores con una fuerte interacción espín-órbita para romper la degeneración de espín, ^[8] como el antimoniuro de indio o el arseniuro de indio . ^[9] Se puede aplicar un campo magnético para inducir el acoplamiento Zeeman para polarizar el espín del cable y romper la degeneración de Kramers . ^[8] La brecha superconductora se puede inducir utilizando la reflexión de Andreev , colocando el cable en la proximidad de un superconductor. ^{[8] [9]} También se han propuesto realizaciones que utilizan aisladores topológicos 3D. ^[9]

No existe una única forma definitiva de comprobar los modos cero de Majorana. Una propuesta para observar experimentalmente estos modos es utilizar la microscopía de efecto túnel de barrido . ^[9] Un pico de polarización cero en la conductancia podría ser la firma de una fase topológica. ^[9] El efecto Josephson entre dos cables en fase superconductora también podría ayudar a demostrar estos modos. ^[9]

En 2023, el equipo QuTech de la Universidad Tecnológica de Delft informó sobre la realización de un Majorana "para pobres", es decir, un estado ligado de Majorana que no está protegido topológicamente y, por lo tanto, solo es estable para un rango muy pequeño de parámetros. ^{[1] [2]} Se obtuvo en una cadena de Kitaev que consta de dos puntos cuánticos en un nanocable superconductor fuertemente acoplado por efecto túnel normal y efecto túnel de Andreev, surgiendo el estado cuando aumenta la velocidad de ambos. ^{[1] [2]} Algunas investigaciones han suscitado inquietudes, sugiriendo que un mecanismo alternativo al de los estados ligados de Majorana podría explicar los datos obtenidos. ^{[2] [7]}

• Cadena Su-Schrieffer-Heeger