cuádrica de Klein

En matemáticas , las líneas de un espacio proyectivo tridimensional , S , pueden considerarse como puntos de un espacio proyectivo pentadimensional, T. En ese espacio pentadimensional, los puntos que representan cada línea en S se encuentran sobre una cuádrica Q, conocida como la cuádrica de Klein . Por lo tanto, el espacio de líneas es una variedad proyectiva tetradimensional. Sus subvariedades son complejos de líneas .

Si el espacio vectorial subyacente de S es el espacio vectorial de 4 dimensiones V , entonces T tiene como espacio vectorial subyacente el cuadrado exterior de 6 dimensiones Λ ² V de V. Las coordenadas de línea obtenidas de esta manera se conocen como coordenadas de Plücker .  

Estas coordenadas de Plücker satisfacen la relación cuadrática

${\displaystyle p_{12}p_{34}+p_{13}p_{42}+p_{14}p_{23}=0}$

definiendo Q , donde

${\ Displaystyle p_ {ij} = u_ {i} v_ {j} -u_ {j} v_ {i}}$

son las coordenadas de la línea generada por los dos vectores u y v . 

El espacio tridimensional, S , puede reconstruirse a partir de la cuádrica, Q : los planos contenidos en Q pertenecen a dos clases de equivalencia , donde los planos de la misma clase se intersecan en un punto, y los planos de clases diferentes se intersecan en una línea o en el conjunto vacío. Sean estas clases C y C ′. La geometría de S se obtiene de la siguiente manera:

1. Los puntos de S son los planos en C.
2. Las líneas de S son los puntos de Q.
3. Los planos de S son los planos en C ′.

El hecho de que las geometrías de S y Q sean isomorfas puede explicarse por el isomorfismo de los diagramas de Dynkin A ₃ y D ₃ .

• Albrecht Beutelspacher y Ute Rosenbaum (1998) Geometría proyectiva  : de los fundamentos a las aplicaciones , página 169, Cambridge University Press ISBN 978-0-521-48277-6
• Arthur Cayley (1873) "Sobre las superlíneas de una superficie cuádrica en el espacio pentadimensional", Collected Mathematical Papers 9: 79–83.
• Felix Klein (1870) "Zur Theorie der Liniencomplexe des ersten und zweiten Grades", Mathematische Annalen 2: 198
• Oswald Veblen y John Wesley Young (1910) Geometría proyectiva , volumen 1, Interpretación de coordenadas de línea como coordenadas de punto en S ₅ , página 331, Ginn and Company .
• Ward, Richard Samuel; Wells, Raymond O'Neil Jr. (1991), Geometría de twistores y teoría de campos , Cambridge University Press, Bibcode : 1991tgft.book.....W , ISBN 978-0-521-42268-0.