Transformación de Klein

En la teoría cuántica de campos , la transformación de Klein ^[1] es una redefinición de los campos para modificar el teorema de estadística de espín .

Supongamos que φ y χ son campos tales que, si x e y son puntos separados espacialmente e i y j representan los índices espinor/tensor,

${\displaystyle [\varphi _{i}(x),\varphi _{j}(y)]=[\chi _{i}(x),\chi _{j}(y)]=\{\ varphi _{i}(x),\chi _{j}(y)\}=0.}$

Supongamos también que χ es invariante bajo la paridad Z ₂ (¡nada que ver con reflexiones espaciales!) asignando χ a −χ pero dejando φ invariante. Las teorías de campo libre siempre satisfacen esta propiedad. Entonces, la paridad Z ₂ del número de partículas χ está bien definida y se conserva en el tiempo. Denotemos esta paridad por el operador K _χ que asigna χ-estados pares a sí mismo y χ-estados impares a su negativo. Entonces, K _χ es involutivo , hermítico y unitario .

Los campos φ y χ anteriores no tienen las relaciones estadísticas adecuadas ni para un bosón ni para un fermión. Esto significa que son bosónicos con respecto a sí mismos, pero fermiónicos entre sí. Sus propiedades estadísticas, cuando se las considera por sí solas, tienen exactamente las mismas estadísticas que las estadísticas de Bose-Einstein porque:

Defina dos nuevos campos φ' y χ' de la siguiente manera:

${\displaystyle \varphi '=iK_{\chi }\varphi \,}$

y

${\displaystyle \chi '=K_{\chi }\chi .\,}$

Esta redefinición es invertible (porque K _χ lo es). Las relaciones de conmutación espaciales se convierten en

${\displaystyle [\varphi '_{i}(x),\varphi '_{j}(y)]=[\chi '_{i}(x),\chi '_{j}(y)] =[\varphi '_{i}(x),\chi '_{j}(y)]=0.\,}$

Consideremos el ejemplo donde

${\displaystyle \{\phi ^{i}(x),\phi ^{j}(y)\}=\{\chi ^{i}(x),\chi ^{j}(y)\} =[\phi ^{i}(x),\chi ^{j}(y)]=0}$

(separados por espacios como de costumbre).

Supongamos que tiene un operador de paridad conservada Z _{2 K χ} que actúa solo sobre χ.

Dejar

${\displaystyle \phi '=iK_{\chi }\phi \,}$

y

${\displaystyle \chi '=K_{\chi }\chi .\,}$

Entonces

${\displaystyle \{\phi '^{i}(x),\phi '^{j}(y)\}=\{\chi '^{i}(x),\chi '^{j}( y)\}=\{\phi '^{i}(x),\chi '^{j}(y)\}=0.}$

• Transformación Jordania-Schwinger
• Transformación de Jordan-Wigner
• Transformación de Bogoliubov-Valatin
• Transformación de Holstein-Primakoff