Producto Zappa–Szép

En matemáticas , especialmente en teoría de grupos , el producto de Zappa-Szép (también conocido como producto de Zappa-Rédei-Szép , producto general , producto tejido , factorización exacta o producto bicruzado ) describe una forma en que se puede construir un grupo a partir de dos subgrupos . Es una generalización de los productos directo y semidirecto . Recibe su nombre de Guido Zappa (1940) y Jenő Szép (1950), aunque fue estudiado independientemente por otros, entre ellos BH Neumann (1935), GA Miller (1935) y JA de Séguier (1904). ^[¹^]

Productos internos de Zappa – Szép

Sea G un grupo con elemento identidad e , y sean H y K subgrupos de G. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

G = HK y H ∩ K = { e }
Para cada g en G , existe un único h en H y un único k en K tales que g = hk .

Si alguna ( y por lo tanto ambas) de estas afirmaciones se cumple, entonces se dice que G es un producto interno de Zappa-Szép de H y K.

Ejemplos

Sea G = GL( n , C ), el grupo lineal general de matrices invertibles n × n sobre los números complejos . Para cada matriz A en G , la descomposición QR afirma que existe una única matriz unitaria Q y una única matriz triangular superior R con entradas reales positivas en la diagonal principal tales que A = QR . Por lo tanto, G es un producto de Zappa-Szép del grupo unitario U ( n ) y el grupo (digamos) K de matrices triangulares superiores con entradas diagonales positivas.

Uno de los ejemplos más importantes de esto es el teorema de Philip Hall de 1937 sobre la existencia de sistemas de Sylow para grupos solubles . Este teorema demuestra que todo grupo soluble es un producto de Zappa-Szép de un subgrupo p ' de Hall y un subgrupo p de Sylow , y de hecho, que el grupo es un producto de Zappa-Szép (con múltiples factores) de un cierto conjunto de representantes de sus subgrupos de Sylow.

En 1935, George Miller demostró que cualquier grupo de permutaciones transitivas no regulares con un subgrupo regular es un producto de Zappa-Szép del subgrupo regular y un estabilizador puntual. Cita como ejemplos PSL(2,11) y el grupo alternante de grado 5, y también cualquier grupo alternante de grado primo. En ese mismo artículo, proporciona varios ejemplos de grupos que no pueden realizarse como productos de Zappa-Szép de subgrupos propios, como el grupo de cuaterniones y el grupo alternante de grado 6.

Productos externos de Zappa – Szép

Al igual que con los productos directos y semidirectos, existe una versión externa del producto de Zappa-Szép para grupos que no se sabe a priori que sean subgrupos de un grupo dado. Para motivar esto, sea G = HK un producto interno de Zappa-Szép de los subgrupos H y K del grupo G. Para cada k en K y cada h en H , existen α( k , h ) en H y β( k , h ) en K tales que kh = α( k , h ) β( k , h ). Esto define las aplicaciones α : K × H → H y β : K × H → K que resultan tener las siguientes propiedades:

α( e , h ) = h y β( k , e ) = k para todo h en H y k en K .
α( k ₁k ₂ , h ) = α( k ₁ , α( k ₂ , h ))
β( k , h ₁h ₂ ) = β(β( k , h ₁ ), h ₂ )
α( k , h ₁h ₂ ) = α( k , h ₁ ) α(β( k , h ₁ ), h ₂ )
β( k ₁k ₂ , h ) = β( k ₁ , α( k ₂ , h ))β( k ₂ , h )

para todo h ₁ , h ₂ en H , k ₁ , k ₂ en K . De esto se deduce que

Para cada k en K , la aplicación h ↦ α( k , h ) es una biyección de H .
Para cada h en H , la aplicación k ↦ β( k , h ) es una biyección de K.

(De hecho, supongamos que α( k , h ₁ ) = α( k , h ₂ ). Entonces h ₁ = α( k ⁻¹k , h ₁ ) = α( k ⁻¹ , α( k , h ₁ )) = α( k ⁻¹ , α( k , h ₂ )) = h ₂ . Esto establece la inyectividad, y para la sobreyectividad, use h = α( k , α( k ⁻¹ , h )).)

De forma más concisa, las tres primeras propiedades anteriores afirman que la aplicación α : K × H → H es una acción izquierda de K sobre (el conjunto subyacente de) H y que β : K × H → K es una acción derecha de H sobre (el conjunto subyacente de) K . Si denotamos la acción izquierda por h → ^k h y la acción derecha por k → k ^h , entonces las dos últimas propiedades equivalen a ^k ( h ₁h ₂ ) = ^k h ₁^{k ^{h ₁}} h ₂ y ( k ₁k ₂ ) ^h = k ₁^{^{k ₂} h} k ₂^h .

Invirtiendo esto, supongamos que H y K son grupos (y sea e el elemento identidad de cada grupo) y supongamos que existen aplicaciones α : K × H → H y β : K × H → K que satisfacen las propiedades anteriores. En el producto cartesiano H × K , definimos una aplicación de multiplicación y una aplicación de inversión mediante, respectivamente,

( h ₁ , k ₁ )( h ₂ , k ₂ ) = ( h ₁ α( k ₁ , h ₂ ), β( k ₁ , h ₂ ) k ₂ )
( h , k ) ⁻¹ = (α( k ⁻¹ , h ⁻¹ ), β( k ⁻¹ , h ⁻¹ ))

Entonces H × K es un grupo llamado producto externo de Zappa-Szép de los grupos H y K. Los subconjuntos H × { e } y { e } × K son subgrupos isomorfos a H y K , respectivamente, y H × K es, de hecho, un producto interno de Zappa-Szép de H × { e } y { e } × K.

Relación con los productos semidirectos y directos

Sea G = HK un producto interno de Zappa-Szép de los subgrupos H y K. Si H es normal en G , entonces las aplicaciones α y β vienen dadas, respectivamente, por α( k , h ) = khk ^{− 1} y β( k , h ) = k . Esto es fácil de ver porque $(h_{1}k_{1})(h_{2}k_{2})=(h_{1}k_{1}h_{2}k_{1}^{-1})(k_{1}k_{2})$ y $h_{1}k_{1}h_{2}k_{1}^{-1}\in H$ puesto que por normalidad de $H$ , $k_{1}h_{2}k_{1}^{-1}\in H$ En este caso, G es un producto semidirecto interno de H y K.

Si , además, K es normal en G , entonces α( k , h ) = h . En este caso, G es un producto directo interno de H y K.

Véase también

Complemento (teoría de grupos)

Referencias

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