Ecuaciones inversas de Kolmogorov (difusión)

La ecuación de Kolmogorov hacia atrás (EKB) y su adjunta , la ecuación de Kolmogorov hacia adelante, son ecuaciones diferenciales parciales (EDP) que surgen en la teoría de los procesos de Markov de estado continuo y tiempo continuo . Ambas fueron publicadas por Andrey Kolmogorov en 1931. ^{[ 1 ]} Posteriormente se comprendió que la ecuación hacia adelante ya era conocida por los físicos con el nombre de ecuación de Fokker-Planck ; la EKB, en cambio, era nueva.

La ecuación de Kolmogorov hacia adelante se utiliza para evolucionar el estado de un sistema hacia adelante en el tiempo. Dada una distribución de probabilidad inicial${\displaystyle p_{t}(x)}$para un sistema que se encuentra en estado${\displaystyle x}$en ese momento${\displaystyle t,}$La ecuación diferencial parcial directa se integra para obtener${\displaystyle p_{s}(x)}$en momentos posteriores${\displaystyle s>t.}$Un caso común toma el valor inicial${\displaystyle p_{t}(x)}$ser una función delta de Dirac centrada en el estado inicial conocido${\displaystyle x.}$

La ecuación de Kolmogorov hacia atrás se utiliza para estimar la probabilidad de que el sistema actual evolucione de manera que su estado futuro en el tiempo${\displaystyle s>t}$viene dada por alguna función de probabilidad fija.${\displaystyle p_{s}(x).}$Es decir, la distribución de probabilidad en el futuro se da como una condición de contorno, y la ecuación diferencial parcial hacia atrás se integra hacia atrás en el tiempo.

Una condición de contorno común es pedir que el estado futuro esté contenido en algún subconjunto de estados.${\displaystyle B,}$el conjunto objetivo . Escribiendo la función de pertenencia al conjunto como${\displaystyle 1_{B},}$de modo que${\displaystyle 1_{B}(x)=1}$si${\displaystyle x\in B}$y cero en caso contrario, la ecuación inversa expresa la probabilidad de acierto${\displaystyle p_{t}(x)}$que en el futuro, la membresía del conjunto será precisa, dada por${\displaystyle p_{s}(x)=1_{B}(x)/\Vert B\Vert .}$Aquí,${\displaystyle \Vert B\Vert }$es solo el tamaño del conjunto${\displaystyle B,}$una normalización de modo que la probabilidad total en el tiempo${\displaystyle s}$se integra en uno.

Dejar${\displaystyle \{X_{t}\}_{0\leq t\leq T}}$sea ​​la solución de la ecuación diferencial estocástica

${\displaystyle dX_{t}\;=\;\mu {\bigl (}t,X_{t}{\bigr )}\,dt\;+\;\sigma {\bigl (}t,X_{t}{\bigr )}\,dW_{t},\quad 0\;\leq \;t\;\leq \;T,}$

dónde${\displaystyle W_{t}}$es un proceso de Wiener (posiblemente multidimensional) ( movimiento browniano ),${\displaystyle \mu }$es el coeficiente de deriva y${\displaystyle \sigma }$está relacionado con el coeficiente de difusión${\displaystyle D}$como${\displaystyle D=\sigma ^{2}/2.}$Defina la densidad de transición (o solución fundamental ).${\displaystyle p(t,x;\,T,y)}$por

${\displaystyle p(t,x;\,T,y)\;=\;{\frac {\mathbb {P} [\,X_{T}\in dy\,\mid \,X_{t}=x\,]}{dy}},\quad t<T.}$

Luego, la ecuación de Kolmogorov hacia atrás habitual para${\displaystyle p}$es

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}(t,x;\,T,y)\;+\;A\,p(t,x;\,T,y)\;=\;0,\quad \lim _{t\to T}\,p(t,x;\,T,y)\;=\;\delta _{y}(x),}$

dónde${\displaystyle \delta _{y}(x)}$es el delta de Dirac en${\displaystyle x}$centrado en${\displaystyle y}$, y${\displaystyle A}$es el generador infinitesimal de la difusión:

${\displaystyle A\,f(x)\;=\;\sum _{i}\,\mu _{i}(x)\,{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)\;+\;{\frac {1}{2}}\,\sum _{i,j}\,{\bigl [}\sigma (x)\,\sigma (x)^{\mathsf {T}}{\bigr ]}_{ij}\,{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x).}$

La ecuación de Kolmogorov hacia atrás se puede utilizar para derivar la fórmula de Feynman-Kac . Dada una función${\displaystyle F}$que satisface el problema de valores en la frontera

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial t}}(t,x)\;+\;\mu (t,x)\,{\frac {\partial F}{\partial x}}(t,x)\;+\;{\frac {1}{2}}\,\sigma ^{2}(t,x)\,{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}(t,x)\;=\;0,\quad 0\leq t\leq T,\quad F(T,x)\;=\;\Phi (x)}$

y dado${\displaystyle \{X_{t}\}_{0\leq t\leq T},}$que, al igual que antes, es una solución de

${\displaystyle dX_{t}\;=\;\mu (t,X_{t})\,dt\;+\;\sigma (t,X_{t})\,dW_{t},\quad 0\leq t\leq T,}$

entonces si el valor esperado es finito

${\displaystyle \int _{0}^{T}\,\mathbb {E} \!{\Bigl [}{\bigl (}\sigma (t,X_{t})\,{\frac {\partial F}{\partial x}}(t,X_{t}){\bigr )}^{2}{\Bigr ]}\,dt\;<\;\infty ,}$

Entonces se obtiene la fórmula de Feynman-Kac:

${\displaystyle F(t,x)\;=\;\mathbb {E} \!{\bigl [}\;\Phi (X_{T})\,{\big |}\;X_{t}=x{\bigr ]}.}$

Prueba. Aplique la fórmula de Itô a${\displaystyle F(s,X_{s})}$para${\displaystyle t\leq s\leq T}$:

${\displaystyle F(T,X_{T})\;=\;F(t,X_{t})\;+\;\int _{t}^{T}\!{\Bigl \{}{\frac {\partial F}{\partial s}}(s,X_{s})\;+\;\mu (s,X_{s})\,{\frac {\partial F}{\partial x}}(s,X_{s})\;+\;{\tfrac {1}{2}}\,\sigma ^{2}(s,X_{s})\,{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}(s,X_{s}){\Bigr \}}\,ds\;+\;\int _{t}^{T}\!\sigma (s,X_{s})\,{\frac {\partial F}{\partial x}}(s,X_{s})\,dW_{s}.}$

Porque${\displaystyle F}$Resuelve la EDP, la primera integral es cero. Tomando la esperanza condicional y usando la propiedad de martingala de la integral de Itô se obtiene

${\displaystyle \mathbb {E} \!{\bigl [}F(T,X_{T})\,{\big |}\;X_{t}=x{\bigr ]}\;=\;F(t,x).}$

Sustituto${\displaystyle F(T,X_{T})=\Phi (X_{T})}$para concluir

${\displaystyle F(t,x)\;=\;\mathbb {E} \!{\bigl [}\;\Phi (X_{T})\,{\big |}\;X_{t}=x{\bigr ]}.}$

La representación de Feynman-Kac se puede utilizar para encontrar la EDP resuelta por las densidades de transición de las soluciones de las EDE. Supongamos que

${\displaystyle dX_{t}\;=\;\mu (t,X_{t})\,dt\;+\;\sigma (t,X_{t})\,dW_{t}.}$

Para cualquier conjunto${\displaystyle B}$, definir

${\displaystyle p_{B}(t,x;\,T)\;\triangleq \;\mathbb {P} \!{\bigl [}X_{T}\in B\,\mid \,X_{t}=x{\bigr ]}\;=\;\mathbb {E} \!{\bigl [}\mathbf {1} _{B}(X_{T})\,{\big |}\;X_{t}=x{\bigr ]}.}$

Por Feynman-Kac (bajo condiciones de integrabilidad), tomando${\displaystyle \Phi =\mathbf {1} _{B}}$, entonces

${\displaystyle {\frac {\partial p_{B}}{\partial t}}(t,x;\,T)\;+\;A\,p_{B}(t,x;\,T)\;=\;0,\quad p_{B}(T,x;\,T)\;=\;\mathbf {1} _{B}(x),}$

dónde

${\displaystyle A\,f(t,x)\;=\;\mu (t,x)\,{\frac {\partial f}{\partial x}}(t,x)\;+\;{\tfrac {1}{2}}\,\sigma ^{2}(t,x)\,{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(t,x).}$

Tomando como referencia la medida de Lebesgue , escriba:${\displaystyle |B|}$para su medida. La densidad de transición${\displaystyle p(t,x;\,T,y)}$es

${\displaystyle p(t,x;\,T,y)\;\triangleq \;\lim _{B\to y}\,{\frac {1}{|B|}}\,\mathbb {P} \!{\bigl [}X_{T}\in B\,\mid \,X_{t}=x{\bigr ]}.}$

Entonces

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}(t,x;\,T,y)\;+\;A\,p(t,x;\,T,y)\;=\;0,\quad p(t,x;\,T,y)\;\to \;\delta _{y}(x)\quad {\text{as }}t\;\to \;T.}$

La ecuación directa de Kolmogorov es

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial T}}\,p{\bigl (}t,x;\,T,y{\bigr )}\;=\;A^{*}\!{\bigl [}p{\bigl (}t,x;\,T,y{\bigr )}{\bigr ]},\quad \lim _{T\to t}\,p(t,x;\,T,y)\;=\;\delta _{y}(x).}$

Para${\displaystyle T>r>t}$La propiedad de Markov implica

${\displaystyle p(t,x;\,T,y)\;=\;\int _{-\infty }^{\infty }p{\bigl (}t,x;\,r,z{\bigr )}\,p{\bigl (}r,z;\,T,y{\bigr )}\,dz.}$

Diferencie ambos lados con respecto a${\displaystyle r}$:

${\displaystyle 0\;=\;\int _{-\infty }^{\infty }{\Bigl [}{\frac {\partial }{\partial r}}\,p{\bigl (}t,x;\,r,z{\bigr )}\,\cdot \,p{\bigl (}r,z;\,T,y{\bigr )}\;+\;p{\bigl (}t,x;\,r,z{\bigr )}\,\cdot \,{\frac {\partial }{\partial r}}\,p{\bigl (}r,z;\,T,y{\bigr )}{\Bigr ]}\,dz.}$

A partir de la ecuación de Kolmogorov hacia atrás:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial r}}\,p{\bigl (}r,z;\,T,y{\bigr )}\;=\;-\,A\,p{\bigl (}r,z;\,T,y{\bigr )}.}$

Sustituir en la integral:

${\displaystyle 0\;=\;\int _{-\infty }^{\infty }{\Bigl [}{\frac {\partial }{\partial r}}\,p{\bigl (}t,x;\,r,z{\bigr )}\,\cdot \,p{\bigl (}r,z;\,T,y{\bigr )}\;-\;p{\bigl (}t,x;\,r,z{\bigr )}\,\cdot \,A\,p{\bigl (}r,z;\,T,y{\bigr )}{\Bigr ]}\,dz.}$

Por definición del operador adjunto${\displaystyle A^{*}}$:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\bigl [}{\frac {\partial }{\partial r}}\,p{\bigl (}t,x;\,r,z{\bigr )}\;-\;A^{*}\,p{\bigl (}t,x;\,r,z{\bigr )}{\bigr ]}\,p{\bigl (}r,z;\,T,y{\bigr )}\,dz\;=\;0.}$

Desde${\displaystyle p(r,z;\,T,y)}$puede ser arbitrario, el corchete debe desaparecer:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial r}}\,p{\bigl (}t,x;\,r,z{\bigr )}\;=\;A^{*}{\bigl [}p{\bigl (}t,x;\,r,z{\bigr )}{\bigr ]}.}$

Reetiquetar${\displaystyle r\to T}$y${\displaystyle z\to y}$, lo que da como resultado la ecuación de Kolmogorov hacia adelante:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial T}}\,p{\bigl (}t,x;\,T,y{\bigr )}\;=\;A^{*}\!{\bigl [}p{\bigl (}t,x;\,T,y{\bigr )}{\bigr ]},\quad \lim _{T\to t}\,p(t,x;\,T,y)\;=\;\delta _{y}(x).}$

Finalmente,

${\displaystyle A^{*}\,g(x)\;=\;-\sum _{i}\,{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\bigl [}\mu _{i}(x)\,g(x){\bigr ]}\;+\;{\frac {1}{2}}\,\sum _{i,j}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}{\Bigl [}{\bigl (}\sigma (x)\,\sigma (x)^{\mathsf {T}}{\bigr )}_{ij}\,g(x){\Bigr ]}.}$

• Fórmula de Feynman-Kac
• ecuación de Fokker-Planck
• ecuaciones de Kolmogorov

• Etheridge, A. (2002). Un curso de cálculo financiero . Cambridge University Press.