automorfismo de Kolmogorov

En matemáticas , un automorfismo de Kolmogorov , K- automorfismo , K -desplazamiento o K -sistema es un automorfismo invertible que preserva la medida , definido en un espacio de probabilidad estándar y que obedece la ley cero-uno de Kolmogorov . ^{[ 1 ]} Todos los automorfismos de Bernoulli son K- automorfismos (se dice que tienen la propiedad K ), pero no a la inversa. Se ha demostrado que muchos sistemas dinámicos ergódicos tienen la propiedad K , aunque investigaciones más recientes han demostrado que muchos de ellos son, de hecho, automorfismos de Bernoulli.

Aunque la definición de la propiedad K parece razonablemente general, se distingue claramente del automorfismo de Bernoulli. En particular, el teorema de isomorfismo de Ornstein no se aplica a los sistemas K , por lo que la entropía no es suficiente para clasificarlos: existen innumerables sistemas K no isomorfos con la misma entropía. En esencia, el conjunto de sistemas K es extenso, complejo y no está categorizado; mientras que los automorfismos B están descritos «completamente» por la teoría de Ornstein .

Dejar${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$Sea un espacio de probabilidad estándar y sea${\displaystyle T}$sea ​​una transformación invertible que preserve la medida . Entonces${\displaystyle T}$se denomina K -automorfismo, K -transformación o K -desplazamiento, si existe un subálgebra sigma${\displaystyle {\mathcal {K}}\subset {\mathcal {B}}}$de tal manera que se cumplan las tres propiedades siguientes:

${\displaystyle {\mbox{(1) }}{\mathcal {K}}\subset T{\mathcal {K}}}$

${\displaystyle {\mbox{(2) }}\bigvee _{n=0}^{\infty }T^{n}{\mathcal {K}}={\mathcal {B}}}$

${\displaystyle {\mbox{(3) }}\bigcap _{n=0}^{\infty }T^{-n}{\mathcal {K}}=\{X,\varnothing \}}$

Aquí, el símbolo${\displaystyle \vee }$es la unión de álgebras sigma , mientras que${\displaystyle \cap }$es intersección de conjuntos . La igualdad debe entenderse como válida en casi todas partes , es decir, que difiere como máximo en un conjunto de medida cero .

Suponiendo que el álgebra sigma no es trivial, es decir, si${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \{X,\varnothing \}}$, entonces${\displaystyle {\mathcal {K}}\neq T{\mathcal {K}}.}$ De ello se deduce que los K -automorfismos son de mezcla fuerte .

Todos los automorfismos de Bernoulli son K- automorfismos, pero no al revés .

Los automorfismos de Kolmogorov son precisamente las extensiones naturales de los endomorfismos exactos, ^{[ 2 ]} es decir, aplicaciones${\displaystyle T}$para qué${\displaystyle \bigcap _{n=0}^{\infty }T^{-n}{\mathcal {M}}}$consiste en conjuntos de medida cero o sus complementos, donde${\displaystyle {\mathcal {M}}}$es el álgebra sigma de conjuntos medibles.

• Christopher Hoffman, " Máquina de contraejemplos AK ", Trans. Amer. Math. Soc. 351 (1999), pp  4263–4280.